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    {\Large nach dem Buch "`Atom- und Quantenphysik"'\\von Hermann Haken und Hans Christoph Wolf\\Springer Verlag\\ \par}%
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\author{Christoph Moder}
\title{Atomphysik}
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\begin{document}

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% Die Nummerierung der Kapitel wird mit dem Befehl \thesection gemacht, d.h. diesen umdefinieren
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% Unterkapitelnummerierung: a, b), c) usw.
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% Unterkapitelnummerierung: griechisch (wie macht man das???)
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\maketitle


\section{Einleitung}	% Kapitel vollständig

\begin{itemize}
	\item Atomistik der Materie: Das Wort \emph{Atom} kommt aus dem Griechischen; erste Theorien über den Aufbau der
	Materie stammen von Demokrit (der postulierte, dass die Materie aus kleinen unteilbaren Teilchen besteht),
	Platon und Aristoteles.

	\item Dass alle Materie aus Atomen zusammen gesetzt ist, geht zurück auf Proust und Dalton (Gesetz der
	konstanten und multiplen Proportionen: die Verhältnisse der Massen der einzelnen Edukte bzw. Produkte einer
	chemischen Reaktion sind immer gleich).
	
	\item Weiter folgten die Arbeiten von Meyer und Mendelejeff, die die Elemente anhand ihrer chemischen
	Eigenschaften im Periodensystem klassifiziert haben.

	\item Gay-Lussac entdeckte, dass bei Gasen nicht nur die Massen, sondern auch die Volumina der Reaktionsedukte
	und -produkte in gleichen Verhältnissen stehen. Dies führte zur \emph{Avogadroschen Hypothese}, dass gleiche
	Gasvolumina verschiedener Gase bei gleicher Temperatur und gleichem Druck stets gleich viele Moleküle
	enthalten. Dies führte zur kinetischen Gastheorie und damit zur Thermodynamik (Clausius, Boltzmann).

	\item Atomistik der Elektrizität: Faraday entdeckte, dass die bei der Elektrolyse abgeschiedene Menge eines
	Elements proportional zur transportierten Ladungsmenge ist, und dass verschiedene Elemente von der gleichen
	Ladungsmenge in äquivalenten Massen abgeschieden werden. Folgerung: Es gibt eine Grundeinheit der elektrischen
	Ladungsträger, welche mit der Grundeinheit der Materie (= Atome) verbunden ist.

	\item Atomistik der Energie: Planck nahm in seinem Strahlungsgesetz für die Hohlraumstrahlung
	(Schwarzkörperstrahlung) an, dass die Energie harmonischer Oszillatoren nur diskrete Werte annehmen kann.

	\item Kirchhoff und Bunsen untersuchten die Emissions- und Absorptionsspektren und zeigten, dass die Spektren
	charakteristisch für die Elemente sind, die sie emittieren/absorbieren. Balmer stellte eine Formel auf, mit der
	die Energieniveaus des Wasserstoff-Atoms berechnet werden können.

	\item Rutherford entdeckte mit seinen Streuversuchen den Atomkern, Bohr entwickelte daraufhin die Quantisierung
	der Elektronenbahnen, diese wurde von Sommerfeld weiterentwickelt.
\end{itemize}


\section{Masse und Größe des Atoms}	% Kapitel vollständig

\begin{itemize}
	\item Die Atommasse wird in der Einheit $u$ gemessen, welche heute als $1/12$ der Masse eines
	${}^{12}\mathrm{C}$-Atoms definiert ist. Frühere Definitionen bezogen sich auf die Masse von Sauerstoffatomen
	(physikalische Definition: Masse von ${^{16}\mathrm{O}}$; chemische Definition: durchschnittliche
	Sauerstoffmasse im natürlichen Isotopenverhältnis).

	\item Ein \emph{Mol} eines Stoffs ist die Stoffmenge, deren Masse in Gramm vom Zahlenwert her genauso groß wie
	die Atommasse des Elements ist. Der Proportionalitätsfaktor ist die \emph{Avogadro-Konstante} $N_A$:
	\[ N_A = (6,0221415 \pm 0,0000010) \cdot 10^{23}~\mathrm{mol}^{-1} \]

	\item Methoden zur Bestimmung der Avogadro-Konstante:
	\begin{itemize}
		\item Elektrolyse: Um ein Mol einer einwertigen Substanz abzuscheiden, braucht man eine Ladung von $F =
		96486 \mathrm{C}$ ($F$: \emph{Faraday-Zahl}).

		\item Gase: Die Gaskonstante $R$ und die Boltzmann-Konstante $k_B$ sind über folgende Gleichung
		verbunden: $k_B = R / N_A$. Die Gaskonstante kann man dabei aus dem allgemeinen Gasgesetz für ideale Gase
		ermitteln, die Boltzmann-Konstante z.B. aus dem Sedimentationsgleichgewicht; die Dichteverteilung
		in einer Suspension kleiner Schwebeteilchen, die der Schwerkraft und der Brownschen Bewegungn
		unterliegen, ist gegeben durch:
		\[ n(h) = n(0) \mathrm{e}^{-m g h / k_B T} \]

		\item Röntgenbeugung an Kristallen: Mit Röntgenlicht bekannter Wellenlänge kann man die Gitterkonstante
		eines Kristalls messen und damit das Volumen, das ein Atom im Kristall belegt. Aus dem Gesamtvolumen des
		Kristalls ergibt sich die Anzahl der Atome im Kristall.

		\item Radioaktiver Zerfall: Bei Alpha-Zerfall entsteht Helium (durch Gasentladung und Spektralanalyse
		kann man bestätigen, dass das aus Alpha-Teilchen entstehende Gas Helium ist); durch Messung der
		Aktivität des Alphastrahlers und der pro Zeiteinheit gebildeten Helium-Menge erhält man die
		Avogadro-Konstante.
	\end{itemize}

	\item Methoden zur Bestimmung der Atomgröße:
	\begin{itemize}
		\item Kinetische Gastheorie: Man nimmt die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung und misst die
		Häufigkeit von Gasteilchen, die eine vorgegebene Geschwindigkeit haben.

		\item Wirkungsquerschnitt: Man lässt einen Atomstrahl auf ein Target treffen; der Anteil der gestreuten
		Atome des Atomstrahls hängt von der Dichte des Targets (Teilchen pro Volumen) und von dem Durchmesser
		der Target-Teilchen ab -- die Stoßwahrscheinlichkeit ist das Verhältnis zwischen der Gesamtfläche aller
		Wirkungsquerschnitte im durchschossenen Target-Volument (= Summe der Wirkungsquerschnitte, wenn sich in
		einem hinreichend dünnen Target die Teilchen nicht überlappen) und der Querschnittsfläche des
		Atomstrahls.

		\item Verhalten von realen Gasen: Ein reales Gas wird durch die \emph{Van-der-Waals-Gleichung}
		beschrieben; diese entspricht der allgemeinen Gasgleichung, erweitert um einen Term für die
		Anziehungskräfte zwischen den Teilchen (Binnendruck) und einen Term für das Eigenvolumen der Teilchen
		(Kovolumen). Durch Messung eines realen Gases erhält man den Parameter $b$ des Kovolumens, welcher dem
		vierfachen Eigenvolumen der Atome entspricht.

		\item Röntgenbeugung an Kristallen: Siehe oben; es gibt das \emph{Laue-Verfahren}, bei dem ein
		Einkristall und polychromatisches Röntgenlicht mit einem festen Einfallswinkel verwendet wird
		(konstruktive Interferenz ist nur für bestimmte Wellenlängen erfüllt); das \emph{Bragg-Verfahren}
		verwendet ebenfalls einen Einkristall, aber bestrahlt diesen mit monochromatischem Licht und dreht ihn
		(dabei gibt es nacheinander für verschiedene Netzebenenscharen eine konstruktive Interferenz); das
		\emph{Debye-Scherrer-Verfahren} benutzt eine polykristalline Pulver-Probe (d.h. die Kristallite sind
		statistisch ausgerichtet) und monochromatisches Röntgenlicht (die Interferenzmaxima befinden sich auf
		Kegeln rund um die Strahlrichtung).
	\end{itemize}
	Bei den verschiedenen Messverfahren ergeben sich unterschiedliche Atomgrößen, weil Atome keine feste Begrenzung
	besitzen, sondern ihre Reichweite hängt vom Messverfahren ab -- wenn sich Atome im Gleichgewicht aus
	energetischen Gründen nicht weiter als eine bestimmte Entfernung nähern, heißt das nicht, dass sie sich dabei
	berühren oder dass sie unter allen Umständen diese Entfernung einhalten. Die Größenordnung ist jedoch immer
	gleich: einige {\AA}ngström.

	\item Atome kann man nicht mit sichtbarem Licht beobachten, weil dessen Wellenlänge zu groß und damit das
	Auflösungsvermögen zu schlecht ist. Für Röntgenstrahlen gibt es keine Linsen, und Elektronenstrahlen kann man
	zwar bündeln (mit elektrischen und magnetischen Feldern), die Linsenfehler sind jedoch groß. Möglich ist die
	Atombeobachtung jedoch mit einem Raster-Tunnelmikroskop.\\
	Einzelne Prozesse lassen sich jedoch einfacher betrachten, z.B. radioaktiver Zerfall im Spinthariskop oder
	Szintillationszähler.

	\item Einzelne Ionen kann man in einer elektromagnetischen Ionenfalle einfangen und beobachten; das Ion wird in
	einem elektrischen Quadrupolfeld gehalten und kann durch Laserlicht zur Lumineszenz angeregt werden, so kann die
	Wechselwirkung zwischen Atom und Strahlungsfeld beobachtet werden.

\end{itemize}


\section{Die Isotopie}	% Kapitel vollständig

\begin{itemize}
	\item Periodensystem der Elemente: Wenn man Elemente mit gleichen chemischen Eigenschaften untereinander
	anordnet und nach wachsender Kernladungszahl vorgeht, ergibt sich das Periodensystem mit acht vertikalen Gruppen
	und sieben horizontale Perioden, dazu Nebengruppen. Auf den ersten Blick müssten aber alle Lanthaniden auf den
	Platz $Z = 57$ und alle Actiniden auf $Z = 89$ gesetzt werden.

	\item Die Atomgewichte müssten ganzzahlig sein, was sie aber in der Praxis oft nicht sind; man stellte sogar
	fest, dass Blei aus verschiedenen Lagerstätten ein unterschiedliches Gewicht haben kann. Ursache: In der Natur
	hat man es mit Gemischen aus unterschiedlichen Isotopen zu tun, welche unterschiedlich schwer sind; das Blei in
	den verschiedenen Lagerstätten ist aus unterschiedlichen Zerfallreihen entstanden.

	\item Massenspektroskopie:
	\begin{itemize}
		\item Parabelmethode nach Thomson: Der Ionenstrahl durchläuft ein elektrisches und ein dazu paralleles
		magnetisches Feld, welche beide senkrecht zum Strahl stehen. Teilchen gleicher Masse und Ladung landen
		auf einer Parabel senkrecht zur Strahlrichtung, deren Ursprung im Durchstoßpunkt des unabgelenkten
		Strahls ist. Grund: Das elektrische Feld lenkt die Teilchen in Feldrichtung aus, wobei die Auslenkung
		umgekehrt proportional zur kinetischen Energie ist -- das elektrische Feld wirkt als Energiefilter:
		\[ y = \frac{e}{2 m} E \frac{l^2}{v^2} \]
		Das Magnetfeld lenkt die Teilchen senkrecht zur Feldrichtung aus; da die Lorentzkraft abhängig von der
		Geschwindigkeit ist, steht im Vergleich zum elektrischen Feld die Geschwindigkeit einmal mehr im Zähler,
		d.h. das Magnetfeld dient als Impulsfilter:
		\[ y = \frac{e}{2 m} B \frac{l^2}{v} \]
		Zusammengefasst:
		\[ y = \frac{2 E}{l^2 B^2} \cdot \frac{m}{e} x^2 \]

		\item Nach Aston: Bei diesem Spektroskop stehen die Felder senkrecht aufeinander, so dass die durch das
		elektrische Feld bewirkte Aufspaltung durch das Magnetfeld wieder kompensiert wird, d.h. Ionen mit
		gleichem $e/m$-Verhältnis, aber unterschiedlicher Geschwindigkeit, landen auf dem selben Punkt -- man
		spricht von \emph{Geschwindigkeitsfokussierung}. Weil die Ionen nicht über einen größeren Bereich
		verteilt werden, erreicht man eine größere Empfindlichkeit.

		\item Nach Dempster: Dieses Spektroskop hat zusätzlich eine \emph{Richtungsfokussierung} durch
		Sektorfelder, um gleiche Teilchen, die aber leicht unterschiedliche Einschussrichtungen haben, auf den
		selben Punkt abzubilden. Dazu durchqueren sie je nach Bewegungsrichtung unterschiedlich lange Strecken
		in den Feldern und werden dadurch fokussiert. Damit erreicht man eine Auflösung bis $10^{-7}~\mathrm{u}$.

		\item Hochfrequenz-Massenspektrometer (Laufzeit-Massenspektrometer): Hier gibt es hochfrequente
		elektromagnetische Wechselfelder, welche Teilchen mit unterschiedlicher spezifischer Ladung
		unterschiedlich stark beschleunigt, wodurch die Laufzeiten verschieden sind.
	\end{itemize}
	Anwendung der Massenspektroskopie: In der Physik zur Messung des Massendefekts, in der Chemie zur
	Strukturaufklärung (durch Elektronen- oder Ionenbeschuss wird ein Molekül zerlegt; aus der Verteilung der
	Bruchstücke kann man schließen, um welches Molekül es sich gehandelt hat) und in der Analytik.

	\item Weitere Möglichkeiten der Isotopentrennung (nötig, weil die Trennrate mit Massenspektrographen gering ist;
	um z.B. $35~\mathrm{g}$ Chlor zu trennen, bräuchte man ungefähr 30 Jahre):
	\begin{itemize}
		\item Diffusion: Gase verschiedener Massen haben bei gleicher Temperatur verschiedene Geschwindigkeiten,
		d.h. leichte Gasteilchen sind im Mittel schneller und diffundieren damit schneller durch eine poröse
		Wand. Dieses Verfahren wird zur Anreicherung von Uran verwendet, welches in Form von
		$\mathrm{U}\mathrm{F}_6$ gasförmig ist.

		\item Gaszentrifugen: Das schwerere Isotop erfährt eine stärkere Zentrifugalkraft und sammelt sich
		deshalb außen in der Zentrifuge an. Wird ebenfalls für Uran verwendet.

		\item Trennrohr: In einem langen Rohr befindet sich ein Heizdraht; durch das Temperaturgefälle zwischen
		Mitte und Rand und durch Konvektion kommt es zur Entmischung, das leichtere Isotop sammelt sich in der
		Mitte am Heizdraht und oben.

		\item Fraktionierte Destillation: Das schwerere Isotop hat meist einen höheren Siedepunkt.

		\item Elektrolyse: Moleküle mit dem schwereren Isotop werden weniger leicht zersetzt als solche mit dem
		leichteren Isotop.

		\item Laser-Photochemie: Mit Lasern kann man bestimmte isotope Moleküle selektiv anregen, so dass nur
		diese photochemische Reaktionen durchführen.
	\end{itemize}
\end{itemize}


\section{Kernstruktur des Atoms}	% Kapitel weitgehend vollständig

\begin{itemize}
	\item Elektronenstrahlen werden beim Durchgang durch Materie geschwächt: entweder durch Streuung (Elektronen
	werden abgelenkt) oder durch Anregung/Ionisation der Atome (Elektronen werden abgebremst).

	\item Streuversuche mit Elektronen an Atomen zeigen, dass der Wirkungsquerschnitt für Elektronenstreuung klein
	ist im Vergleich mit dem Wirkungsquerschnitt bei Streuung von anderen Atomen.

	\item Die Intensität eines Strahls nimmt bei Durchgang durch Materie exponentiell ab (Schichtdicke $x$):
	\[ I(x) = \mathrm{e}^{-\alpha x} \]
	Der Absorptions-/Streukoeffizient $\alpha$ ist proportional zur Dichte des Materials, unabhängig vom
	Aggregatzustand. Mit wachsender Elektronengeschwindigkeit nimmt $\alpha$ stark ab -- für sehr schnelle
	Elektronen sind Atome $10^8$ mal durchlässiger als für langsame Elektronen. Nur ein sehr kleiner Teil der Atome
	ist also für Elektronen undurchlässig.

	\item $\alpha$-Teilchen sind doppelt ionisierte Helium-Kerne mit hoher kinetischer Energie im MeV-Bereich; ihre
	Reichweite in Luft beträgt ca. $3,5~\mathrm{cm}$, d.h. bei einer freien Weglänge im Mikrometer-Bereich können
	$\alpha$-Teilchen einige tausend Atome durchdringen, ohne abgelenkt zu werden.\\
	Rutherford untersuchte die Streuung von $\alpha$-Teilchen an Gold-Atomen, wobei er die Intensität in
	Abhängigkeit vom Streuwinkel maß. Ergebnis: Die Intensität nimmt mit $1/\sin^4(\theta)$ ab; große Streuwinkel
	kommen auch vor, und man kann ausschließen, dass es sich dabei um Mehrfachstreuungen handelt. Erklären kann man
	dies, indem man annimmt, dass der Atomkern (Radius nach diesem Experiment: Größenordnung Pikometer) praktisch
	die gesamte Atommasse und die gesamte positive Ladung enthält und dass $\alpha$-Teilchen nur bei Begegnung mit
	dem Kern gestreut werden, aber die Elektronenhülle weitgehend ungestört durchqueren können. Coulomb-Feld um den
	Kern:
	\[ \mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Z e}{r^3} \mathbf{r} \]
	Aus dem Coulomb-Feld des Kerns kann man die Rutherford-Streuformel herleiten, die experimentell sehr gut
	bestätigt wird. Für $\alpha$-Teilchen großer Energie kommt es allerdings bei annähernd zentralem Stoß zu
	deutlichen Abweichungen -- d.h. das Coulomb-Gesetz gilt hier nicht mehr, sondern es wirken zusätzlich die
	Kernkräfte. Aus dieser \emph{anomalen Rutherford-Streuung} ergibt sich ein Kernradius in der Größenordnung
	Femtometer.\\
	Auch bei sehr kleinen Streuwinkeln (wenige Bogensekunden) stimmt die Rutherford-Streuformel nicht; hier kommt es
	zu einer Beeinflussung des Coulomb-Potenzials des Kerns durch die Elektronenhülle.
	
	\item Durch Streuung von $\alpha$-Teilchen an praktisch gleichschweren Helium-Atomen ergeben sich Ablenkungen um
	$90^\circ$, was zeigt, dass praktisch die gesamte Atommasse im Kern versammelt ist.
\end{itemize}


\section{Das Photon}	% Kapitel weitgehend vollständig

\begin{itemize}
	\item Huygens und Young wiesen durch Interferenz-Experimente nach, dass Licht eine Wellenerscheinung ist.

	\item Licht ist eine elektromagnetische Welle, bei der die elektrischen und magnetischen Feldvektoren senkrecht
	aufeinander stehen. Beschrieben wird das Verhalten durch die Maxwellschen Gleichungen. Hertz erzeugte
	elektromagnetische Wellen erstmals durch Ausstrahlung eines oszillierenden Dipols.

	\item Weitere Mechanismen zur Erzeugung von Licht: Synchrotronstrahlung durch Zentripetalbeschleunigung
	geladener Teilchen in Beschleunigern (hat ein kontinuierliches Spektrum), Abbremsung geladener Teilchen im
	Magnetfeld von Himmelskörpern (ergibt Radiostrahlung bis kurzwellige Ultraviolettstrahlung), Abbremsung von
	Elektronen im Coulombfeld von Atomkernen (Röntgenbremsstrahlung), Schwarzkörperstrahlung

	\item Hohlraumstrahlung (Schwarzkörperstrahlung): Heiße Körper senden eine Strahlung aus, die ein
	kontinuierliches Spektrum hat. Experimentell verwendet man dazu ein Hohlraum mit einem Loch, das klein genug
	ist, dass weder nennenswert Strahlung austreten kann noch von außern eindringen kann; die Wände des Hohlraums
	werden dabei auf konstanter Energie gehalten, woraufhin sich im Inneren ein Strahlungsgleichgewicht einstellt.
	Die Energieverteilung ist unabhängig von Form und Material des Hohlraumes, die Strahlungsleistung in
	Abhängigkeit von der Temperatur wird durch das \emph{Stefan-Boltzmann-Gesetz} gegeben (Fläche $A$,
	Stefan-Boltzmann-Konstante $\sigma$):
	\[ P = \sigma \cdot A \cdot T^4 \]
	Die Wellenlänge maximaler Intensität liefert das \emph{Wiensche Verschiebungsgesetz}:
	\[ \lambda \cdot T = 2897,8~\mu\mathrm{m}~\mathrm{K} \]
	Das \emph{Rayleigh-Jeans-Gesetz} liefert nur bei großen Wellenlängen die richtige Strahlungsflussdichte; bei
	kleinen Wellenlängen kommt es zur \emph{Ultraviolett-Katastrophe}, d.h. die Strahlungsleistung würde für
	abnehmende Wellenlänge gegen unendlich gehen. Das \emph{Wiensche Strahlungsgesetz} dagegen funktioniert nur bei
	kleinen Wellenlängen. Die Verallgemeinerung beider Gesetze ist das \emph{Plancksche Strahlungsgesetz}; es nimmt
	an, dass sich die Atome an den Wänden des Hohlraums wie elektromagnetische Oszillatoren verhalten, die Strahlung
	absorbieren und emittieren und von denen jeder eine charakteristische Schwingungsfrequenz hat, und dass die
	Oszillatoren -- im Unterschied zur klassischen Vorstellung -- nur diskrete Energiewerte $E_n = (n + 1/2) h \nu$
	annehmen können (weil die Plancksche Konstante so klein ist und man sich deshalb in der makroskopischen Physik
	im Bereich sehr hoher Quantenzahlen $n$ bewegt, bemerkt man die Quantisierung nicht).

	\item Fotoeffekt: Negativ geladene Metallplatten werden durch UV-Licht entladen, nicht jedoch positiv geladene
	Platten und auch nicht bei Licht mit einer Frequenz, die kleiner als eine Grenzfrequenz ist. Durch Anlegen einer
	Gegenspannung kann man die kinetische Energie der emittierten Elektronen ermitteln; es gibt eine
	Maximalspannung, oberhalb der keine Elektronen mehr emittiert werden. Außerdem setzt der Photostrom instantan
	ein, statt verzögert. Klassische Vorstellung: Die kinetische Energie der Photoelektronen sollte mit zunehmender
	Strahlungsleistung ansteigen (statt einer maximalen Gegenspannung nicht mehr entgegnen zu können), sie sollte
	nur von der Intensität und nicht von der Wellenlänge abhängig sein, und man würde erwarten, dass sich zuerst
	Energie ansammeln muss, weil sich die einfallende Strahlung gleichmäßig auf alle Atome verteilt. Erklären lassen
	sich diese Phänomene jedoch mit dem Quantencharakter von Licht, d.h. die Energie wird paketweise geliefert,
	wobei die Energie eines Photons (= Lichtquant) von der Wellenlänge abhängt. Da ein Photon zu wenig Energie (d.h.
	eine zu große Wellenlänge) haben kann, um Elektronen zu ionisieren, ergibt sich eine Grenzfrequenz; weil jedes
	Photon nur eine bestimmte Energie besitzt, ist damit auch die kinetische Energie der Elektronen beschränkt
	(geringere kinetische Energien sind möglich, da der Rest für Austrittsarbeit aufgewendet wird), und weil sich
	die Lichtenergie nicht auf alle Atome verteilt, sondern die Energie eines Photons komplett einem Atom zugute
	kommt, setzt der Photostrom instantan ein.\\
	Wenn die Elektronen, wie beschrieben, aus dem Material austreten, spricht man vom \emph{äußeren Fotoeffekt};
	wenn sich die Elektronen in einem Festkörper befinden und durch Licht vom Valenz- ins Leitungsband gehoben
	werden, ist das der \emph{innere Fotoeffekt}. Mit Röntgen- oder Gammastrahlung kann man den Atomkern anregen und
	ihn zur Emission von Nukleonen bringen, das ist der \emph{Kern-Fotoeffekt}.

	\item Comptoneffekt: Licht wird an Atomen gestreut, indem die Photonen die Elektronen zu Schwingungen anregen,
	woraufhin diese Strahlung mit der selben Frequenz aussenden (Rayleigh-Streuung, die z.B. die Blaufärbung des
	Himmels erklärt). Für schwach gebundene Elektronen gibt es aber auch die Möglichkeit, dass das gestreute Licht
	eine geringere Energie (größere Wellenlänge) hat, d.h. es wurde Energie an das Elektron abgegeben (d.h. dessen
	kinetische Energie wächst). Durch Messung von Photonen und Elektronen kann man zeigen, dass die Zahl der
	Koinzidenzen deutlich größer als bei unkorrelierter Emission ist, d.h. Photonenstreuung und
	Elektronenbeschleunigung passiert tatsächlich gleichzeitig.
\end{itemize}


\section{Das Elektron}

\begin{itemize}
	\item Größe von Elektronen: Wenn man die Energie seines elektrischen Feldes (= Energieinhalt eines kugelförmigen
	Kondensators mit Gegenpotnezial im Unendlichen) gleich seiner Ruheenergie setzt oder den Wirkungsquerschnitt bei
	Streuungen misst, kommt man zu einer Größe im Bereich von Femtometern. Wenn man allerdings Elektronen
	untereinander streuen lässt, ergibt sich keine Abweichung vom Coulomb-Gesetz, d.h. Elektronen sind demnach
	punktförmig.

	\item Ladung: Diese kann man mit dem Milikan-Versuch messen, bei dem geladene Öltröpfchen in einem elektrischen
	Feld gehalten werden und dabei der elektrostatischen Kraft, der Schwerkraft, der Reibung und der Auftriebskraft
	ausgesetzt sind.

	\item Spezifische Ladung: Dazu werden beschleunigte Elektronen in ein Magnetfeld gebracht, wo sie sich durch die
	Lorentzkraft auf Kreisbahnen bewegen (Gleichgewicht aus Lorentz- und Zentrifugalkraft). Aus der Radius der
	Kreisbahn, der Beschleunigungsspannung und der Magnetfeldstärke ergibt sich das Verhältnis aus Ladung und Masse
	der Elektronen. Dieses wird allerdings bei zunehmender Beschleunigungsspannung kleiner -- eine Folge der
	relativistischen Massenzunahme, allerdings wurde das bereits vor Einsteins Relativitätstheorie entdeckt.

	\item Elektronen zeigen Interferenz bei Doppelspalt- und Kristallreflexionsexperimenten. Allerdings verteilt
	sich die Ladung eines Elektrons oder auch seine Energie niemals, sondern sie befinden sich stets an einem Ort,
	d.h. nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons hat Wellencharakter.

	\item Atome erreichen wegen ihrer kleinen de-Broglie-Wellenlänge eine hohe Ortsauflösung, gleichzeitig schädigen
	sie durch ihre geringe kinetische Energie die untersuchten Oberflächen nicht.
\end{itemize}


\section{Einige Grundeigenschaften der Materiewellen}	% Kapitel weitgehend vollständig

\begin{itemize}
	\item Eine ebene monochromatische Welle kann durch folgende Gleichung beschrieben werden ($k = 2 \pi/\lambda$;
	$\omega = 2 \pi/T$):
	\[ A(x,t) = A_0 \cos(k x - \omega t) = A_0 \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{i k x - i \omega t} + \mathrm{e}^{-i k x
	+ i \omega t}\right) \]
	Diese Welle ist räumlich unendlich ausgedehnt.

	\item Um die unendliche Ausdehnung von Wellen zu ändern, kann man Wellen verschiedener Wellenzahl kombinieren:
	\[ \psi(x,t) = \int_{k_0 - \Delta k}^{k_0 + \Delta k} a \mathrm{e}^{i(k x - \omega t)} \]
	Während sich eine einzelne Welle mit der \emph{Phasengeschwindigkeit} $v_\textrm{\small Phase} = \omega/k$
	bewegt, bewegt sich das Maximum des \emph{Wellenpakets} mit der \emph{Gruppengeschwindigkeit} $v_\textrm{\small
	Gruppe} = {d \omega}/{d k}$. Die Gruppengeschwindkeit einer de-Broglie-Welle ist identisch mit der
	Teilchengeschwindigkeit. Allerdings kann man Wellenpaket und Teilchen nicht gleichsetzen, weil ein Wellenpaket
	im Allgemeinen Dispersion aufweist, d.h. die unterschiedlichen Frequenzen laufen unterschiedlich schnell, das
	Wellenpaket zerläuft; je schärfer man das Wellenpaket macht (d.h. je enger der Abstand zwischen den Nullstellen
	links und rechts des Maximums ist), desto größer ist der dazu benötigte Wellenlängenbereich.

	\item Die Intensität des Beugungsbildes eines Teilchens ist in einem Raumgebiet proportional zum Absolutquadrat
	der dortigen Amplitude der Materiewelle; die Intensität ist aber auch proportional zur Wahrscheinlichkeit, das
	Teilchen in diesem Raumgebiet zu finden -- damit gibt das Absolutquadrat der Wellenfunktion die
	Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens im beobachteten Raumgebiet an.

	\item Heisenbergsche Unschärferelation: Die Verteilung eines Wellenpakets lautet
	\[ \psi(x) \propto \frac{\sin(x \Delta k)}{x} \];
	die erste Nullstelle $\pi/\Delta k$ sei ein Maß für die Ortsunschärfe, d.h. die halbe Teilchenbreite ist gleich
	des Abstands vom Ursprung (= Maximum) bis zur ersten Nullstelle:
	\[ \frac{\Delta x}{2} = \frac{\pi}{\Delta k} \]
	Mit $k = p / \hbar$ eingesetzt ergibt sich die Heisenbergsche Unschärferelation:
	\[ \Delta x \Delta p \geq h \]
	Ort und Impuls können also nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden; wenn man $\Delta x$ möglichst
	klein machen möchte, wächst $\Delta p$ stark an. Diese Relation lässt sich auch umformen zu $\Delta t \Delta E
	\geq h$, d.h. auch Zeit und Energie lassen sich nicht gleichzeitig beliebig genau messen; um die Energie genau
	messen zu können, muss man genügend lange Zeit messen.
\end{itemize}


\section{Das Bohrsche Modell des Wasserstoffatoms}	% Kapitel vollständig

\begin{itemize}
	\item Spektroskopie liefert Informationen über das Material, das die Strahlung aussendet oder absorbiert. Man
	unterscheidet Linienspektren (typisch für Atome), Bandenspektren (Gruppen vieler sehr dicht aneinander liegenden
	Spektrallinien, typisch für Moleküle) und kontinuierliche Spektren (typisch für Festkörper oder Gase hoher
	Dichte, d.h. Wechselwirkung sehr vieler Atome miteinander). Die ersten Linienspektren, die man beobachtet hat,
	waren Absorptionsspektren (d.h. ein kontinuierliches Lichtspektrum, in dem die vom Material absorbierten
	Wellenlängen fehlen und daher als schwarze Linien sichtbar sind), weil bei normalen Temperaturen die Atome im
	Grundzustand oder einem niedrig angeregten Zustand sind und daher nur die Übergänge dieser Zustände bei der
	Emission betrachtet werden können.

	\item Spektrallinien kann man beschreiben durch die Wellenlänge $\lambda$, die Frequenz $\nu$, die Wellenzahl
	$k$ oder die Energie $E$. Dabei ist die Wellenlänge alleine nicht eindeutig, weil sie von der
	Lichtgeschwindigkeit im jeweiligen Medium abhängt; die restlichen Größen sind dagegen eindeutig.

	\item Das Spektrum des Wasserstoff-Atoms lässt sich mit folgender empirischer Formel beschreiben:
	\[ \bar{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2} \right) \]
	Frequenzen mit gleichem $n'$ gehören zur gleichen Serie (Lyman-, Balmer-, Paschen-, Brackett-, Pfund-Serie; die
	erste ist im UV-Bereich, die zweite im sichtbaren Bereich (und wurde deshalb zuerst entdeckt), die restlichen im
	IR-Bereich). $n$ bzw. $n'$ heißen \emph{Hauptquantenzahlen}.

	\item Bohrsche Postulate: Für die Elektronen gilt ein Gleichgewicht zwischen Coulombkraft ($\rightarrow$
	potenzielle Energie) und Zentrifugalkraft ($\rightarrow$ kinetische Energie):
	\[ \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} = m_0 r \omega^2 \]
	Der Bezugspunkt für die potenzielle Energie ist so definiert, dass diese bei unendlicher Entfernung gleich Null
	ist.\\
	Mit dieser Vorstellung wären beliebige Bahnradien und damit Energiewerte für die Elektronen möglich; außerdem
	ist ein kreisendes Elektron ein Hertzscher Oszillator und müsste damit elektromagnetische Strahlung gleich
	seiner Umlauffrequenz abstrahlen und damit laufend Energie verlieren. Daher postulierte Bohr:
	\begin{itemize}
		\item Es sind nur bestimmte diskrete Bahnradien erlaubt, die den Energietermen des Atoms entsprechen.
		Damit gilt:
		\[ r_n = \frac{n^2 \hbar^2 4 \pi \varepsilon_0}{e^2 m_0} \]
		Der kleinste Bahnradius (d.h. für $n = 0$) heißt \emph{Bohrscher Radius}.
		Der Bahndrehimpuls ist ein Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums: $l = m_0 v_n r_n = m_0 r_n^2
		\omega_n n \hbar$. Aus obigem Gleichgewicht aus Coulomb- und Zentrifugalkraft erhält man durch Einsetzen
		des Bahnradius und Drehimpuls die Energiezustände:
		\[ E_n = -\frac{Z^2 e^4 m_0}{32 \pi^2 \varepsilon_0^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} \]
		\[ \bar{\nu} = \frac{1}{h c} (E_n - E_{n'}) \]

		\item Die Bewegung der Elektronen auf diesen Bahnen erfolgt strahlungslos. Dagegen erfolgt der Übergang
		von einer Elektronenbahn auf eine andere unter Abgabe oder Aufnahme von Strahlung mit $E_n - E_{n'} = h
		\nu$.
	\end{itemize}
	Die Abweichung zwischen gemessenem und aus dem Bohrschen Atommodell berechneten Wert bei der Rydberg-Konstante
	ergibt sich daraus, dass der Kern beim Umlauf des Elektrons mitrotiert; die Rechnung stimmt, wenn man mit der
	reduzierten Masse rechnet. Wegen dieser Mitbewegung des Kerns haben verschiedene Isotope des gleichen Elements
	leicht unterschiedliche Spektrallinien; auf diese Weise wurde das Deuterium entdeckt und gleichzeitig eine
	Unstimmigkeit zwischen der Massenbestimmung von Wasserstoff auf chemischen und auf massenspektroskopischem Weg
	aufgeklärt -- bei den chemischen Methoden misst man stets auch das Deuterium mit.\\
	Probleme des Bohrschen Atommodells: Im Grundzustand müsste das Elektron einen Bahndrehimpuls $\hbar$ haben,
	tatsächlich ist er aber Null. Außerdem können bestimmte Spektrallinien, wie die 21~cm-Wasserstoff-Linie
	(Radioastronomie!) damit nicht erklärt werden.

	\item Fraunhofer-Linien: Absorptionslinien in einem kontinuierlichen Spektrum bezeichnet man als
	\emph{Fraunhofer-Linien}. Sie bedeuten, dass die entsprechenden Energieniveaus in den Atomen besetzt sind.

	\item Verschiebungssatz von Sommerfeld und Kossel: Das Spektrum eines beliebigen Atoms ist sehr ähnlich dem
	Spektrum des einfach positiv geladenen Atoms, das im Periodensystem folgt.

	\item Myonen-Atom: Ein Atom, das statt eines Elektrons ein Myon hat. Myonen-Atome lassen sich auch mit dem
	Bohrschen Atommodell beschreiben.

	\item Nachweis der Energiequantelung durch Stoßprozesse (Franck-Hertz-Versuch): Elektronen werden in einer
	Röhre, die mit einem unter geringem Druck stehenden Gas gefüllt ist, zwischen der Glühkathode und einem Gitter
	beschleunigt; hinter dem Gitter befindet sich in einigem Abstand ein Auffänger, der gegenüber dem Gitter negativ
	geladen ist. Ionisierte Gasatome landen dadurch auf dem Auffänger und führen dort zu einem Strom, der
	proportional zur Anzahl der ionisierten Atome ist. Man beobachtet, dass der Auffängerstrom jeweils bei einem
	Vielfachen der Ionisationsenergie der Atome (welche gegeben ist durch Beschleunigungsspannung mal
	Elektronenladung) einbricht, d.h. die entsprechenden Elektronen haben an diesen Stellen ausreichend Energie, um
	die Atome zu ionisieren -- wenn die Elektronen mehrmals ionisieren können, heißt das, dass die
	Potenzialdifferenz so groß ist, dass die Elektronen zwischen den Stößen jeweils wieder auf die
	Ionisationsenergie beschleunigt werden. Bei passender Gasfüllung sieht man an den Stellen, an denen die
	Ionisation passiert, eine leuchtende Schicht im Gas, die durch die Rekombination bei nicht komplett erfolgter
	Ionisation (d.h. nur Anregung) verursacht wird. Allerdings haben nicht alle Maxima in der
	Strom-Spannungs-Kurve entsprechende Spektrallinien, d.h. verbotene optische Übergänge lassen sich per
	Elektronenstoß anregen.

	\item Atommodell nach Sommerfeld: Die Substruktur der Spektrallinien brachte Sommerfeld zu einer Erweiterung des
	Bohrschen Atommodells. Da es in der Mechanik Ellipsenbahnen mit der gleichen Energie wie Kreisbahnen gibt (vgl.
	Keplersche Gesetze), übertrug Sommerfeld das auf die Elektronenbahnen. Die Hauptquantenzahl $n$ bestimmt
	weiterhin die Gesamtenergie der Elektronenbahn und auch die große Halbachse der Ellipse. Die kleine Halbachse
	wird durch eine weitere Quantenzahl bestimmt, so dass der Drehimpuls ein ganzzahliges Vielfaches $k$ von $\hbar$
	ist (mit $k \leq n$). Damit gehören zu einem Energiewert mehrere Elektronenbahnformen, deren kleine Halbachsen
	sich unterscheiden; die Energiewerte sind $n$-fach \emph{entartet}. Aus Sommerfelds Nebenquantenzahl $k$ wurde
	später die \emph{Bahndrehimpulsquantenzahl} $l = k - 1$; damit gilt für den Bahndrehimpuls des Elektrons
	$|\mathbf{l}| = \sqrt{l (l + 1)} \hbar$ mit $l = 0 \ldots n - 1$. Die Aufspaltung der Spektrallinien kann man
	laut Sommerfeld dann mit der relativistischen Massenzunahme der Elektronen erklären -- je elliptischer die
	Elektronenbahn ist, desto stärker wird das Elektron in Kernnähe beschleunigt und wird damit massereicher, was zu
	einer Energieabsenkung führt.

	\item Bohrsches Korrespondenzprinzip: Jede nicht-klassische Theorie muss im Grenzfall hoher Energien (= großer
	Quantenzahlen) und kleiner Energieänderungen in die klassische Theorie übergehen.

	\item Rydberg-Atome: Das sind Atome, bei denen ein Elektron in ein extrem hohes Energieniveau angeregt wurde;
	diese Atome sind riesengroß (Durchmesser bis in den Mikrometer-Bereich, da der Bahnradius proportional zu $n^2$
	wächst), und der Anregungszustand hat eine sehr	lange Lebensdauer (Größenordnung eine Sekunde, im Vergleich zu
	Nanosekunden bei niedrigen Zuständen), weil die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs zwischen zwei Zuständen laut
	Einstein proportional zu $\nu^3$ ist. Weil das angeregte Elektron sehr weit vom Kern entfernt ist (d.h. die
	Kernladung ist komplett abgeschirmt), verhält sich ein Rydberg-Atom ähnlich wie ein Wasserstoff-Atom, seine
	Strahlung (beim Übergang zwischen benachbarten Niveaus) ist jedoch im Mikrowellen- bis fernen Infrarotbereich.
	Erzeugt werden können Rydberg-Atome mit Laserlicht; außerdem beobachtet man im Weltraum die Strahlung von
	Rydberg-Atomen, die Anregungen bis $n = 350$ haben.
	
	\item Nebengruppen-Elemente: Bei Atomen mit mehr als 18 Elektronen werden nicht mehr die Hauptschalen der Reihe
	nach besetzt, weil die Durchdringung der inneren Schalen dann sehr groß geworden ist. So wird das 19. Elektron
	nicht in die $3\mathrm{d}$-Unterschale eingebaut, sondern in die $4\mathrm{s}$-Unterschale, welche energetisch
	darunter liegt. Erst wenn die $4\mathrm{s}$-Unterschale besetzt ist, wird die $3$-Schale weiter befüllt.
\end{itemize}


\section{Das mathematische Gerüst der Quantentheorie}	% Kapitel nur auszugsweise

\begin{itemize}
	\item Die Wellen in einem Kastenpotenzial (Länge des Kastens $a$, Wände unendlich dick und hoch) werden durch
	eine Wellengleichung beschrieben:
	\[ A \cdot \mathrm{e}^{i k x - i \omega t} \]
	Aus $E = \hbar \omega$ und $p = \hbar k$ und $E = p^2 / (2 m_0)$ ergeben sich zwei mögliche Werte für $k$, die
	beide zur gleichen Gesamtenergie gehören:
	\[ k_{1,2} = \pm \frac{1}{\hbar}\sqrt{2 m_0 E} \]
	Damit wird eine Welle in einem Kastenpotenzial durch folgende Superposition von Wellen beschrieben:
	\[ \psi(x, t) = \underbrace{(C_1 \mathrm{e}^{i k x} + C_2 \mathrm{e}^{-i k x})}_{= \varphi(x)} \mathrm{e}^{i \omega t} \]
	Für die Randbedingungen $\varphi(0) = 0$ und $\varphi(a) = 0$ ergibt sich $C_1 + C_2 = 0$ und $\sin(k a) = 0$.
	Das bedeutet: Nur Wellen, bei denen die Kastenlänge $a$ ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist, passen in den
	Potenzialkasten. Die Energie ist damit quantisiert:
	\[ E = \frac{\hbar}{2 m_0} \left(\frac{n \pi}{a}\right)^2 \]
	Normiert über den Bereich von $0 \leq x \leq a$ ergibt sich für die Konstante $C_1 = 1/\sqrt{2 a}$.\\
	Während die Wellenfunktion mit einer festen Energie verknüpft ist, gilt das nicht für den Impuls, denn es sind
	$p = \pm \hbar k$ möglich. Beide haben den Vorfaktor $1/\sqrt{2}$ und die Wahrscheinlichkeit $1/2$, d.h. man
	erhält die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Impuls zu messen, indem man den Vorfaktor vor der normierten
	Welle quadriert.

	\item Schrödingergleichung: Das Energiegleichgewicht
	\[ \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m_0} \]
	wird von der Wellenfunktion $\psi$ folgendermaßen erfüllt; dies ist die Schrödingergleichung:
	\[ -\frac{\hbar^2}{2 m_0} \frac{d^2}{d x^2}\psi(x,t) = i \hbar \frac{d}{d t}\psi(x,t) \]
	Wenn man noch die potenzielle Energie $V(\mathbf{r})$ dazunimmt und die Ableitung nach der Zeit auf der rechten
	Seite ausrechnet, ergibt sich die stationäre Schrödingergleichung, hier für den 3D-Fall:
	\[ H \varphi(\mathbf{r}) = E \varphi(\mathbf{r}) \]
	mit dem \emph{Hamilton-Operator}, der die Gesamtenergie (= Summe aus kinetischer und potenzieller Energie)
	angibt:
	\[ H = -\frac{\hbar^2}{2 m_0} \Delta + V(\mathbf{r}) \]
	
	\item Die Schrödingergleichung für Einelektronensysteme (d.h. Wasserstoff sowie alle Ionen, die nur noch ein
	Elektron haben) hat im Hamilton-Operator drei Summanden: für die kinetische Energie von Kern und Elektron sowie
	für das Coulombpotenzial zwischen Kern und Elektron. Durch Verwendung der reduzierten Masse $\mu = (M_1 \cdot
	m_2)/(m_1 + m_2)$ können die beiden kinetischen Energien zusammengefasst werden:
	\[ -\frac{\hbar^2}{2 \mu}\Delta \psi + E_\mathrm{pot}(r) \psi = E \psi \]

	\item Aufenthaltswahrscheinlichkeit: Das Amplitudenquadrat einer Materiewelle gibt die
	Wahrscheinlichkeit an, dass ein Teilchen im Volumen $dx dy dz$ an der Stelle $x,y,z$ ist:
	\[ |\psi(x,y,z)|^2 dx dy dz \]

	% Ende des Kapitels fehlt
\end{itemize}


\section{Quantenmechanik des Wasserstoff-Atoms}

\begin{itemize}
	\item Bei einem zentralsymmetrischen Potenzialfeld gilt Drehimpulserhaltung (vgl. Gravitationsfeld: Flächensatz
	im zweiten Keplerschen Gesetz).

	\item Die Komponenten des Drehimpulsoperators kommutieren nicht, aber das Quadrat des Drehimpulsoperators
	kommutiert mit den Komponenten, außerdem kommutieren beide mit dem Hamilton-Operator.

	\item Die Wellenfunktion in Polarkoordinaten kann man separiert nach Radius und Winkeln schreiben:
	\[ \psi(r, \vartheta, \varphi) = R(r) \cdot Y(\vartheta, \varphi) \]
	$R_{n,l}(r)$ ist der Radialteil, der durch Laguerre-Polynome ausgedrückt wird; $Y_l^m(\vartheta, \varphi)$ ist
	der Polar- und Azimutalteil und wird durch Kugelflächenfunktionen $Y_l^m(\vartheta, \varphi) = P_l^m(\cos
	\vartheta) \cdot \phi_m(\varphi)$ ($P_l^m$: Legendre-Polynom) ausgedrückt.\\
	$n$ ist die Hauptquantenzahl, $l$ (mit $0 \leq l \leq n - 1$) ist die Bahndrehimpulsquantenzahl, die den
	Bahndrehimpuls $L = \sqrt{l (l + 1)} \hbar$ liefert, und $m$ (mit $-l \leq m \leq l$) die magnetische
	Quantenzahl (gezählt mit griechischen Buchstaben: $\sigma, \pi, \delta, \varphi, \gamma$), die die
	$z$-Komponente des Bahndrehimpulses beeinflusst: $L_z = m \hbar$. Der Bahndrehimpuls ist damit betragsmäßig und
	auch richtungsmäßig gequantelt (da die Kombination von $L$ und $L_z$ nur bestimmte Winkel erlaubt).

\end{itemize}


\section{Aufhebung der l-Entartung in den Spektren der Alkali-Atome}	% Kapitel vollständig

\begin{itemize}
	\item \emph{Entartung}: Die Energie eines Zustands $(n, l, m)$ wird nur durch die Hauptquantenzahl $n$ bestimmt,
	d.h. alle Zustände mit gleichem $n$ haben die selbe Energie -- und das sind $k = \sum_{l = 0}^{n - 1} (2 l + 1)
	= n^2$ Stück, d.h. der \emph{Entartungsgrad} der Zustände $(n, l, m)$ ist $n^2$. $n = 1$ ist nicht entartet,
	denn es gibt dort nur einen Zustand $(1, 0, 0)$.\\
	Für Ein-Elektronen-Systeme lauten die Energieniveaus:
	\[ E_n = -\frac{Z^2}{n^2} \cdot \underbrace{\frac{1}{(4 \pi \varepsilon_0)^2} \cdot \frac{e^4 m_e}{2
	\hbar^2}}_{= E_0} \]
	Bei mehreren Elektronen ist die Sache komplizierter, weil auch die Elektronen untereinander wechselwirken -- die
	potenzielle Energie hängt nicht mehr nur vom Abstand zum Kern ab. Bei einem einzigen Elektron wird deshalb die
	Energie nur durch $n$ bestimmt; bei mehreren Elektronen hängt die Energie auch von $l$ ab (je kleiner $l$, desto
	geringer die Energie des Elektrons), bei einem äußeren Magnetfeld spielt außerdem $m$ eine Rolle.

	\item Summiert man die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten $|\psi_{n, l, m}|^2$ zu einem $n$ über alle dazu
	erlaubten $l$ und $m$, ergibt sich die gesamte Aufenthaltswahrscheinlichkeit zum Energieniveau $n$ -- darum
	nennt man $n$ eine \emph{Elektronenschale}.

	\item Ladungsabschirmung: Bei mehr als zwei Elektronen hat ein Atom mehrere Elektronenschalen. Dabei schirmen
	die inneren Schalen einen Teil der Kernladung ab. Weil die inneren Elektronenschalen den Kern kugelförmig
	umgeben (das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist nicht winkelabhängig, auch wenn die Wellenfunktion selbst
	winkelabhängig ist) und die Ladung einer Kugel rechnerisch durch eine Punktladung in der Kugelmitte ersetzt
	werden kann (weil das resultierende Feld in beiden Fällen identisch ist), spürt beispielsweise das
	Valenzelektron des Lithium-Atoms (das aus drei Protonen im Kern, zwei Elektronen in der K-Schale und dem
	Valenzelektron in der L-Schale besteht) lediglich den Betrag einer Protonenladung im Kern. Allerdings haben
	Elektronenschalen keine festen Radien, sondern sind Aufenthaltswahrscheinlichkeitsbereiche -- d.h. das
	Valenzelektron bewegt sich mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auch innerhalb der inneren Elektronenschale;
	das hat zur Konsequenz, dass das Valenzelektron in Wirklichkeit nicht die Ladung $+1 e$ sieht, sondern eine
	\emph{effektive Kernladung}, die etwas höher ist. Die Durchdringung der inneren Schalen ist bei kleinem $l$
	besonders groß, d.h. der energetische Grundzustand des Valenzelektrons ist $l = 0$ und damit des gesamten
	Lithium-Atoms $1\mathrm{s}^22\mathrm{s}^1$.

	\item Die Spektren der Alkali-Atome ähneln denen der Atome mit nur einem Elektron, da bei Alkali-Atomen die
	Kernladung weitgehend durch die inneren Elektronenschalen abgeschirmt ist. Man kann daher den Zustand des
	Valenzelektrons ebenso durch die Quantenzahlen $n,l,m$ ausdrücken, lediglich die zugehörigen Energien
	unterscheiden sich stark von den Einelektronensystemen.

	\item Effektives Potenzial für das Valenzelektron: Für kleine Kernabstände ist das effektive Potenzial annähernd
	gleich dem unabgeschirmten Potenzial (d.h. $-(Z e^2)/r$), für große Kernabstände ist dagegen die Kernladung bis
	auf eine Elementarladung abgeschirmt (d.h. $-(e^2)/r$). Das bedeutet, dass das effektive Potenzial nicht mehr
	proportional zu $r^{-1}$ ist, wodurch die Entartung der $l$-Niveaus aufgehoben wird; dies kann mit den
	Sommerfeldschen Tauchbahnen erklärt werden, d.h. die Elektronen bewegen sich auf elliptischen Bahnen, die
	teilweise in die anderen Elektronenhüllen eintauchen und daher unterschiedliche Kernpotenziale sehen. Durch die
	Aufhebung der Entartung erhält man verschiedene Spektralserien, nach deren Namen auch die Unterschalen benannt
	sind ($s,p,d,f$): Der Übergang von $p$ zu $s$ heißt \emph{principal} (Hauptserie), von $s$ zu $p$ \emph{sharp}
	(2. Nebenserie), von $d$ zu $p$ \emph{diffuse} (1. Nebenserie) und von $f$ zu $d$ \emph{fundamental}
	(Bergmann-Serie).
\end{itemize}


\section{Bahn- und Spin-Magnetismus, Feinstruktur}	% Kapitel vollständig

\begin{itemize}
	\item Viele der Alkali-Spektrallinien sind Doppellinien (Dubletts); das lässt sich nicht mit der Aufhebung der
	Bahnentartung erklären. Konkret: Alle Energie-Terme von Atomen mit einem Valenzelektron sind in zwei Terme
	aufgespalten, ausgenommen $s$-Terme, die keinen Bahndrehimpuls besitzen.

	\item Durch den Bahndrehimpuls hat ein Elektron ein magnetisches Moment $\mathbf{\mu}_l$, außerdem hat es auch
	durch den Spin ein magnetisches Moment $\mathbf{\mu}_s$. Diese beiden magnetischen Momente können parallel oder
	antiparallel stehen, wobei sich leicht unterschiedliche Bindungsenergien ergeben. Dadurch kommt es zu den
	Doppellinien oder allgemein zur \emph{Feinstruktur}.

	\item Magnetisches Moment der Bahnbewegung: Das magnetische Moment einer Leiterschleife ist definiert als
	\[ \mathbf{\mu} = I \cdot \mathbf{A} \]
	Mit dem Strom $I = -e/T$ (Umlaufzeit $T = 2\pi/\omega$) und der Kreisfläche $A = r^2 \pi$ und dem Bahndrehimpuls
	$|\mathbf{l}| = m \omega r^2$ ergibt sich:
	\[ \mathbf{\mu} -\frac{e}{2 m_0} \mathbf{l} \]
	Mit dem Bahndrehimpuls $|\mathbf{l}| = \hbar$ eingesetzt ergibt sich das \emph{Bohrsche Magneton} $\mu_B$; damit
	lässt sich das magnetische Bahnmoment schreiben als:
	\[ \mu_l = \mu_B \sqrt{l (l + 1)} \]
	Oder vektoriell:
	\[ |\mathbf{\mu}_l| = -g_l \mu_B \frac{\mathbf{l}}{\hbar} \]
	wobei der \emph{Land\'{e}-Faktor} $g_l$ das Verhältnis zwischen magnetischem Moment (Einheit: Bohrschen
	Magnetonen) und Drehimpuls (Einheit: $\hbar$) angibt; $g_l = 1$.

	\item Ein äußeres Magnetfeld übt eine Kraft auf die Elektronen aus, weil es energetisch am günstigsten ist, wenn
	das Bahnmoment parallel zum äußeren Magnetfeld ist. Die Elektronen verhalten sich wie Kreisel und führen eine
	Präzessionsbewegung um die Richtung des äußeren Feldes aus; für die Präzessionsfrequenz gilt (Drehmoment
	$\mathbf{D}$):
	\[ \omega_L = \frac{|\mathbf{D}|}{|\mathbf{l}| \sin \alpha} = \frac{\mu_l B \sin \alpha}{|\mathbf{l}| \sin \alpha} =
	\frac{g_l \mu_B}{\hbar} = \gamma B \]
	Das \emph{gyromagnetische Verhältnis} $\gamma$ gibt die Präzessionsfrequenz in einem Magnetfeld der Stärke 1
	Tesla an; die Präzessionsfrequenz $\omega_L$ heißt \emph{Larmor-Frequenz}.

	\item Aus der Schrödingergleichung ergibt sich, dass bei Vorgabe einer Vorzugsrichtung eine Komponente des
	Drehimpulses gequantelt ist. Ein externes Magnetfeld stellt so eine Vorzugsrichtung dar; damit sind für den
	Winkel zwischen dem externen Feld und dem Bahndrehimpuls nur diskrete Werte zulässig
	(\emph{Richtungsquantelung}). Während sich bei der Präzession die $x$- und $y$-Komponenten herausmitteln, gilt
	für die $z$-Komponente des Drehimpulses dann:
	\[ l_z = m_l \hbar \]
	mit der \emph{magnetischen Quantenzahl} $m_l = 0 , \ldots , \pm l$. Das magnetische Moment ist entsprechend
	quantisiert:
	\[ \mu_{l,z} = -\frac{e}{2 m_0} l_z = -m_l \mu_B \]

	\item Atome mit einem Elektron in der Valenzschale (alle anderen Schalen abgeschlossen) sollten im Grundzustand
	diamagnetisch sein, weil $s$-Zustände mit  $l = 0$ kein magnetisches Bahnmoment haben. In Wirklichkeit sind
	diese Atome aber paramagnetisch. Der Grund ist der Eigendrehimpuls des Elektrons, der \emph{Spin}:
	\[ |\mathbf{s}| = \sqrt{s (s + 1)} \hbar \]
	\[ \mathbf{\mu}_s = -g_s \frac{e}{2 m_0} \mathbf{s} \]
	$s = 1/2$ ist die \emph{Spinquantenzahl}; $g_s$ hat den Wert $2,0023$ -- die Abweichung von $g_s = 2$, wie man
	es aus der relativistischen Dirac-Theorie erwarten würde, kommt von der Wechselwirkung des Elektrons mit seinem
	eigenen Strahlungsfeld.

	\item Der Spin kann nur zwei diskrete Orientierungen annehmen, nämlich parallel oder antiparallel zu einem
	externen Magnetfeld:
	\[ s_z = m_s \hbar \]
	\[ \mu_{s,z} = -g_s m_s \mu_B = \pm 1,00116 \mu_B \]
	mit $m_s = \pm 1/2$.

	\item Das gyromagnetische Verhältnis $\gamma$ unterscheidet sich bei Spin- und Bahnmagnetismus; bei reinem
	Bahnmagnetismus lautet es:
	\[ \gamma_l = \frac{1}{2} \frac{e}{m_0} \]
	Bei reinem Spin-Magnetismus:
	\[ \gamma_s = 1,00116 \frac{e}{m_0} \]
	Zusammenhang zwischen gyromagnetischem Verhältnis und Land\'{e}-Faktor ($x = l, s$:
	\[ \gamma_x \hbar = g_x \mu_B \]

	\item Messung des gyromagnetischen Verhältnisses nach Einstein und de Haas: Ein Eisenstab hängt an einem Faden
	in einer Spule; wenn der Stab durch die Spule ummagnetisiert wird, drehen sich auch die Drehimpulse aller
	Elektronen um. Die Drehimpulsdifferenz führt zu einer Torsion des Fadens, über einen Spiegel und Lichtzeiger
	kann man diese messen. Das Verhältnis aus dem gemessenen Magnetisierungsunterschied und dem
	gemessenen Drehimpulsunterschied des gesamten Stabes ist gleich dem Verhältnis bei jedem einzelnen Elektron:
	\[ \frac{\Delta \mu}{\Delta L} = \frac{\mu_z}{l_z} = \frac{e}{m_0} = \gamma \]

	\item Stern-Gerlach-Versuch, Nachweis der Richtungsquantelung: In einem Ofen wird Silber erhitzt; ein Strahl von
	Silberatomen entweicht, dieser wird durch Blenden kollimiert. Der Strahl durchfliegt ein stark inhomogenes Magnetfeld
	(die Feldrichtung und der Feldgradient sind senkrecht zur Flugrichtung). Ein äußeres Magnetfeld bewirkt bei
	statischen magnetischen Partikeln, dass sich diese parallel zum Magnetfeld ausrichten; wenn die Partikel dagegen
	rotieren, kommt es zu einer Präzession um die Feldrichtung, d.h. der Betrag des Winkels zur Feldrichtung bleibt
	gleich. Aus dem Ofen kommend sind die magnetischen Momente der Atome beliebig orientiert; durch das Magnetfeld
	werden sie zur Präzession gebracht. Je
	nach Ausrichtung der Dipole bewegen sie sich unterschiedlich im Feld: Parallel zum Magnetfeld ausgerichtete
	Dipole bewegen sich in Richtung zunehmender Feldstärke, antiparallel ausgerichtete Dipole in Gegenrichtung. Die
	potenzielle Energie im Magnetfeld lautet $V = -\mathbf{\mu} \cdot \mathbf{B}$, daraus ergibt sich die ablenkende
	Kraft als Produkt des Feldgradienten und der zum Feld parallelen Komponente des magnetischen Moments ($\alpha$:
	Winkel zwischen magnetischem Moment und Richtung des Feldgradienten):
	\[ F_z = \mu_z \frac{dB}{dz} = \mu \frac{dB}{dz} \cos \alpha \]
	Klassisch würde man erwarten, dass sich bei beliebiger Ausrichtung $\alpha$ zum Feld entsprechend beliebig
	abgestufte Ablenkungen zeigen. Es zeigen sich jedoch nur zwei Linien auf dem Beobachtungsschirm -- das bedeutet,
	es gibt eine Richtungsquantelung (entweder sind die Atome parallel oder antiparallel zum Feld orientiert). Aus
	der beobachteten Auslenkung kann man das magnetische Moment der Atome berechnen: $\mu_z = \pm \mu_B$. Man misst
	für alle Atome, die als äußerstes Elektron ein $s$-Elektron haben, die selbe Ablenkung, d.h. die magnetischen
	Momente der inneren Elektronenschalen heben sich gegenseitig auf. Da das $s$-Elektron den Bahndrehimpuls
	$\mathbf{l} = 0$ und damit kein magnetisches Bahnmoment haben, kommt das magnetische Moment ausschließlich durch
	den Spin des $s$-Elektrons.

	\item \emph{Spin-Bahn-Kopplung}: Der Gesamtdrehimpuls eines Atoms ist die vektorielle Summe aus dem
	Bahndrehimpuls und dem Spin:
	\[ \mathbf{j} = \mathbf{l} + \mathbf{s} \]
	\[ j = l \pm \frac{1}{2} \]
	Je nachdem, ob die magnetischen Momente von Bahndrehimpuls und Spin parallel oder antiparallel stehen, ergeben
	sich leicht unterschiedliche Energiewerte (die Aufspaltung ist proportional zu $Z^4$ und umgekehrt proportional
	zu $n^3$). Die Kopplung der magnetischen Momente führt zu einer Addition der zugehörigen Drehimpulse zu einem
	Gesamtdrehimpuls:
	\[ |\mathbf{j}| = \sqrt{j(j + 1)} \hbar \]
	\[ j = |l \pm s| = |l \pm 1/2| \]
	Für den Gesamtdrehimpuls gibt es Werte von $j = l + s$ bis $j = l - s$, also $2 j + 1$ Möglichkeiten;
	beispielsweise ist der Zustand $j = 3/2$ 4-fach entartet. Dies gilt auch generell für andere Drehimpulse; wenn es
	$J_1$ und $J_2$ gibt, addieren sich diese ebenfalls vektoriell, und für den Betrag gilt analog $J = J_1 + J_2 -
	k \geq J_1 - J_2$ ($k \in N_0$). Bei einem Zwei-Elektronen-System mit den Bahndrehimpulsen 0 ist somit ein
	Gesamtdrehimpuls von 0 oder 1 möglich (Spin parallel oder antiparallel); bei $J = 0$ kann nur $m_J = 0$ sein, es
	handelt sich um einen \emph{Singulett-Zustand}. Bei $J = 1$ ist $m_J = 0$ oder $m_J = \pm 1$ möglich -- ein
	\emph{Triplett-Zustand}. Schreibweise für die Zustände: $nL_J$, z.B. $2P_{3/2}$\\
	Die Zustände mit gleichem $n$, aber unterschiedlichem Spin, haben geringfügig unterschiedliche Energien, weil
	die potenzielle Energie $V = -\mu_z \cdot B$ minimal bei paralleler Ausrichtung von magnetischem Moment und Feld
	und maximal bei antiparalleler Ausrichtung ist. Wenn das Magnetfeld durch den Bahndrehimpuls hervorgerufen wird,
	nennt man das \emph{Spin-Bahn-Kopplung}.
	
	\item Die Aufspaltung der Energieterme (mit Ausnahme der $s$-Zustände) in mehrere Unterzustände (Dublett- bzw.
	Multiplett-Struktur der Spektrallinien) bezeichnet man als \emph{Feinstruktur}. Sie ist ein Ergebnis der
	durch die Spin-Bahn-Kopplung hervorgerufenen Unterschiede in den Energieniveaus. Diese Unterschiede müssen aber
	nicht nur von der Wechselwirkung der inneren magnetischen Momente des Atoms kommen, sondern auch externe Felder
	führen zu einer Vorzugsrichtung, zu der die magnetischen Momente des Atoms parallel oder antiparallel stehen
	können, mit entsprechenden Folgen für die Energieniveaus (sie spalten noch weiter auf, beim Gesamtdrehimpuls $J$ in $2 J
	+ 1$ Komponenten), wobei der Linienabstand von der Stärke des externen Felds abhängt.
	
	\item Auswahlregel für optische Übergänge (d.h. unter Emission oder Absorption eines Photons): möglich, wenn
	$\Delta j = 0$ oder $\Delta j = \pm 1$, außer von $j = 0$ zu $j = 0$ (d.h. der Gesamtdrehimpuls kann gleich
	bleiben, aber der Bahndrehimpuls muss sich stets ändern: $\Delta l = \pm 1$). Die Frequenz einer Spektrallinie
	ist gegeben durch die \emph{Bohrsche Frequenzbedingung}: $h f = h c / \lambda = \Delta E$.

	\item Spin-Bahn-Aufspaltung im Bohrschen Atommodell: Beim Umlauf des Elektrons um den Kern entsteht am Ort des
	Elektrons ein Magnetfeld, mit dem das magnetische Moment des Elektrons wechselwirkt. Wenn man umgekehrt rechnet,
	dass sich der Kern um das Elektron dreht, ergibt sich mit dem Biot-Savart-Gesetz:
	\[ \mathbf{B}_l = -\frac{Z e \mu_0}{4 \pi r^3 m_0} \mathbf{l} \]
	Die Wechselwirkung zwischen Spin und Bahn lautet (mit berücksichtigtem Thomas-Faktor aus der relativistischen
	Transformation des Koordinatensystems):
	\[ V_{l,s} = -\mathbf{\mu}_s \mathbf{B}_l = \frac{Z e^2 \mu_0}{8 \pi m_0^2 r^3} (\mathbf{s} \cdot \mathbf{l}) =
	\frac{a}{2} [j \cdot (j + 1) - l \cdot (l + 1) - s \cdot (s + 1)] \]
	$a = Z e^2 \mu_0 \hbar^2 / (8 \pi m_0^2 r^3)$ ist die Spin-Bahn-Kopplungskonstante.\\
	Durch Einsetzen der entsprechenden Größen wie Kernladungszahl und mittlerer Bahnradius ergibt sich die Größe der
	Aufspaltung, d.h. der Abstand der Spektrallinien. Beispielsweise bei Wasserstoff ist die Aufspaltung so klein,
	dass sie in der Doppler-Linienverbreiterung (Doppler-Frequenzverschiebung, hervorgerufen durch die Bewegung der
	Atome) untergeht, während sie bei Cäsium so groß ist, dass die aufgespaltene Linie wie zwei unabhängige Linien
	aussieht. Bei den gelben Natrium-Linien ist die Aufspaltung gerade schön sichtbar.

	\item Nomenklatur: Man bezeichnet die Terme durch große Buchstaben S, P, D, F etc., die Hauptquantenzahl $n$
	kommt davor, die Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses $j$ als Index des Buchstabens, und die Multiplizität $2 s +
	1$ links oben des Buchstabens. Beispiel: $2^2 P_{3/2}$, wenn das Valenzelektron die Quantenzahlen $n = 2$, $l
	= 1$, $j = 3/2$ hat. Allgemein: $n^{2 S + 1} L_J$ (kleine Buchstaben bezeichnen einzelne Elektronen, große
	Buchstaben Mehrelektronensysteme).

	\item Lamb-Shift: Man beobachtet, dass sich Spektrallinien bei hoher Auflösung noch einmal in zwei Komponenten
	aufspalten. Der Grund ist ein Quanteneffekt: Die Elektronen emittieren und absorbieren ständig virtuelle
	Lichtquanten.
\end{itemize}


\section{Atome im Magnetfeld}	% Kapitel vollständig

\begin{itemize}
	\item Magnetisches Bahnmoment: Ein um den Atomkern umlaufendes Elektron stellt einen elektrischen Strom $I = -e
	\cdot \omega$ und damit ein magnetisches Moment $\mathbf{p}_m = I \cdot r^2 \pi \mathbf{e}_z$ dar. Der
	Bahndrehimpuls lautet $\mathbf{l} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = m_e r v \mathbf{e}_z$. Daraus ergibt sich der
	Zusammenhang zwischen Bahndrehimpuls und magnetischem Moment:
	\[ \mathbf{p}_m = -\frac{e}{2 m_e} \cdot \mathbf{l} \]
	Die potenzielle Energie in einem Magnetfeld lautet $E_\mathrm{pot} = -\mathbf{p}_m \cdot \mathbf{B}$; durch
	Einsetzen des magnetischen Moments und mit dem Bahndrehimpuls $l_z = m \cdot \hbar$ ergibt sich:
	\[ E_\mathrm{pot} = \frac{e \cdot \hbar}{2 m_e} m \cdot B = \mu_B \cdot m \cdot B \]
	(mit dem \emph{Bohrschen Magneton} $\mu_B$). Durch ein äußeres Magnetfeld der Stärke $B$ bekommt also der Zustand
	$(n, l, m)$ diese Zusatzenergie, die sich zum Coulomb-Potenzial dieses Zustands addiert. Dadurch spalten sich
	die $m$-Zustände, die ohne äußeres Feld entartet sind, in $(2 l + 1)$ äquidistante Niveaus auf.

	\item Elektronenspin-Resonanz: Hier beobachtet man Übergänge zwischen verschiedenen magnetischen Quantenzahlen
	$m$. Dazu wird ein statisches externes Magnetfeld angelegt, um das die Elektronen präzedieren. Senkrecht zum
	statischen Magnetfeld legt man ein magnetisches Wechselfeld an, das die selbe Frequenz wie die Präzession der
	Elektronen hat (Larmor-Frequenz). Hierbei wechselt das magnetische Moment des Elektrons (aus Bahndrehimpuls
	und/oder Spin) zwischen seinen verschiedenen diskreten Einstellungen, d.h. das Elektron wechselt zwischen seinen
	verschiedenen Energieniveaus. Bei einer Feldstärke der externen Felder im Bereich von einem Tesla erhält man
	Resonanzfrequenzen im GHz-Bereich.

	\item Zeeman-Effekt: Auch bei Übergängen im optischen Bereich kommt es zu einer Frequenzaufspaltung.
	Beispielsweise wirft eine Natriumflamme im Licht einer Natriumlampe einen Schatten, weil sie das einseitig
	einfallende Natriumlicht absorbiert und isotrop wieder abstrahlt; wenn man dagegen ein Magnetfeld um die Flamme
	anlegt, verschwindet der Schatten, da sich die Absorptionsfrequenz verändert hat. Bei Beobachtung senkrecht zum
	Magnetfeld erkennt man, dass sich die Spektrallinie in drei Linien aufgespalten hat, wobei die zwei neuen Linien
	symmetrisch zur ursprünglichen Linie liegen und linear polarisiert sind. Bei Beobachtung parallel zum Magnetfeld
	verschwindet die ursprüngliche Linie komplett, die beiden neuen Linien sind zirkular polarisiert.\\
	Der \emph{normale Zeeman-Effekt} tritt bei Atomen mit reinem Bahnmagnetismus auf (d.h. die Spins addieren sich
	zu Null). Man betrachtet dabei die Bewegung des Elektrons um den Kern als lineare Oszillation (indem man die
	Projektion seiner Umlaufbewegung betrachtet); wenn man nun ein äußeres Magnetfeld anlegt, das zum Elektron
	beliebig orientiert ist, kann man die Elektronenschwingung vektoriell zerlegen in eine Schwingung parallel zum
	Magnetfeld und eine Schwingung senkrecht dazu; das virtuelle Elektron parallel zum Magnetfeld schwingt linear,
	während es senkrecht zum Magnetfeld zwei virtuelle Elektronen gibt, die jeweils entgegen gesetzt zirkular
	schwingen (jede lineare Schwingung lässt sich durch zwei entgegen gesetzte zirkulare Schwingungen ausdrücken).
	Während das Magnetfeld auf das erste virtuelle Elektron parallel zum Feld keine Auswirkung hat, werden die
	beiden anderen virtuellen Elektronen je nach Umlaufrichtung durch die Lorentzkraft beschleunigt oder verzögert,
	wodurch sich ihre Kreisfrequenz erhöht oder erniedrigt: $\delta \omega = \mu_B/\hbar \cdot B_0$, d.h. ähnlich
	wie die Larmor-Frequenz, aber mit $g = 1$, da Bahnmagnetismus. Das virtuelle Elektron, das parallel zum
	Magnetfeld schwingt, wirkt wie ein Hertzscher Dipol, es gibt eine Ausstrahlung parallel zum Magnetfeld. Man
	nennt diese Strahlung die $\pi$-Komponente ($\pi$ wie parallel). Die anderen beiden Komponenten heißen
	$\sigma^-$ und $\sigma^+$ ($\sigma$ wie senkrecht, das Vorzeichen gibt die Erniedrigung/Erhöhung der Frequenz
	an), sie sind zirkular polarisiert ($\sigma^-$ links-zirkular, $\sigma^+$ rechts-zirkular, jeweils bezogen auf
	die Magnetfeldrichtung), bei Beobachtung senkrecht zum Magnetfeld erscheinen sie linear polarisiert. Vektoriell
	beschrieben: Der Drehimpulsvektor $\mathbf{j}$ präzediert um die Magnetfeldrichtung; die Zusatzenergie des Atoms
	beträgt $V_{m_j} = m_j g_j \mu_B B_0$, der Term spaltet in $2 j + 1$ Komponenten auf, nach der Auswahlregel der
	optischen Übergänge ergeben sich dann drei Linien: das normale Zeeman-Triplett.\\
	Der \emph{anomale Zeeman-Effekt} tritt bei Atomen mit Bahn- und Spinmagnetismus auf; es kommt zu einer
	Aufspaltung in mehr Zeeman-Komponenten, da der Abstand zwischen den Komponenten jetzt nicht mehr gleich ist --
	$g_j$ unterscheidet sich für die verschiedenen Zustände. Während Bahndrehimpulsvektor und Bahnmoment genauso wie
	Spin und Spinmoment jeweils antiparallel zueinander sind, gilt das für den Gesamtdrehimpuls nicht mehr, da wegen
	der unterschiedlichen $g$-Faktoren für Bahn- und Spinmagnetismus sich die magnetischen Momente anders addieren
	als die Drehimpulse. Bei der Berechnung muss man dann die mittlere Lage des um den Gesamtdrehimpuls
	präzedierenden magnetischen Gesamtmoments nehmen, d.h. die Projektion von $\mathbf{\mu}_j$ auf $\mathbf{j}$:
	\[ |(\mathbf{\mu}_j)_j| = \frac{3 j (j + 1) + s (s + 1) - l (l + 1)}{2 \sqrt{j (j + 1)}} \mu_B = g_j \sqrt{j (j
	+ 1)} \mu_B \]
	
	\item Paschen-Back-Effekt: Die bisherigen Effekte bezogen sich auf schwache Magnetfelder, d.h. die Aufspaltung
	der Energieniveaus ist schwach gegen die Feinstruktur-Aufspaltung und die Spin-Bahn-Kopplung ist größer als die
	Kopplung von Bahn- oder Spinmoment mit dem äußeren Magnetfeld. Hat man dagegen ein starkes Magnetfeld, werden
	Spin und Bahndrehimpuls entkoppelt und präzedieren jeweils einzeln um das externe Magnetfeld, dabei verschwindet
	die Feinstruktur, es gibt keinen Gesamtdrehimpuls mehr, es gibt wieder ein Spektrallinien-Triplett wie beim
	normalen Zeeman-Effekt.

	\item Optisches Pumpen, Doppelresonanz: Man kann die unterschiedliche Polarisation der Zeeman-Niveaus nutzen, um
	selektiv einzelne Niveaus anzuregen. Beispielsweise kann man Quecksilber-Atome durch linear polarisiertes Licht
	zu einen $\pi$-Übergang anregen, diese leuchten dann entsprechend linear polarisiert. Wenn man außerdem ein
	hochfrequentes Magnetfeld senkrecht zum ``Zeeman-Feld'' anlegt, kann man zusätzlich Übergänge zu $\Delta m = \pm
	1$ anregen, und von diesen Niveaus aus emittieren die Atome zirkular polarisiertes Licht. Mit diesem
	\emph{Doppelresonanz-Verfahren} (Anregung mit Licht und Hochfrequenz) erreicht man eine hohe
	Nachweisempfindlichkeit, weil man Hochfrequenzquanten kleiner Energie durch die viel energiereicheren
	Lichtquanten nachweisen kann.
\end{itemize}


% Atome im Magnetfeld, quantenmechanische Betrachtung: Kapitel fehlt



\setcounter{section}{14}
\section{Atome im elektrischen Feld}

\begin{itemize}
	\item Auch im elektrischen Feld beobachtet man eine Aufspaltung der Spektrallinien; dieser Effekt ist
	schwieriger zu beobachten, da man sehr hohe Felder ohne Durchschlag erzeugen muss. Nach seinem Entdecker heißt
	diese Aufspaltung \emph{Stark-Effekt}; sie spielt beim Verständnis von Molekülspektren, bei Gasen hoher Dichte
	und bei Kristallen eine entscheidende Rolle, weil durch die dortigen elektrischen Felder der Stark-Effekt den
	größten Beitrag zur Linienverbreiterung liefert.

	\item Man beobachtet bei allen Atomen eine Aufspaltung, die proportional zum Quadrat der Feldstärke ist. Da das
	elektrische Feld $E$ ein elektrisches Dipolmoment $\mathbf{p} = \alpha \cdot \mathbf{E}$ erzeugt, gilt für das
	dadurch hervor gerufene Potenzial $V_\textrm{\small el} = \frac{1}{2} \mathbf{p} \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{2}
	\alpha E^2$ -- daher der Begriff \emph{quadratischer Stark-Effekt}.

	\item Für wasserstoffähnliche Atome und Terme mit $l \neq 0$ beobachtet man den \emph{linearen Stark-Effekt}.
	Dabei wird die $l$-Entartung (Entartung der Zustände gleicher Hauptquantenzahl, aber unterschiedlicher
	Bahndrehimpulsquantenzahl) nicht bereits durch innere atomare Felder, sondern erst durch das äußere elektrische
	Feld aufgehoben.

	\item Unterschied zum Magnetfeld: Zustände mit gleichem Absolutwert der magnetischen Quantenzahl $m$ verhalten
	sich gleich -- die Wirkung eines elektrischen Feldes ist identisch, egal ob das Elektron links herum oder rechts
	herum läuft. Daher beträgt die Anzahl der Terme nicht $2 j + 1$, sondern nur $j + 1$ bei ganzzahligem $j$ und $j
	+ 1/2$ bei halbzahligem $j$.
\end{itemize}


% Allgemeine Gesetzmäßigkeiten optischer Übergänge: Kapitel fehlt


\setcounter{section}{16}
\section{Mehrelektronenatome}	% Kapitel weitgehend vollständig

\begin{itemize}
	\item Während beim Wasserstoff-Atom nur die Anziehung zwischen Elektron und Kern die Bindungsenergie bestimmt,
	muss man beim Helium-Atom die Coulomb-Energie beider Elektronen berücksichtigen, zudem deren gegenseitige
	Abstoßung.

	\item Pauli-Prinzip: Es dürfen niemals zwei oder mehr Elektronen in allen Quantenzahlen übereinstimmen. Daher
	kann es z.B. beim Helium den Zustand $1^3 S$ nicht geben. Ein atomarer Zustand ($n,l,m$) kann mit höchstens
	zwei Elektronen besetzt werden, weil diese sich dann im Spin unterscheiden. Es gibt immer nur einen Grundzustand
	mit der tiefsten Hauptquantenzahl; dieser hat die höchste Multiplizität, die mit dieser Hauptquantenzahl
	verträglich ist.

	\item Der Gesamtdrehimpuls abgeschlossener Elektronenschalen ist Null (d.h. die Grundzustände aller
	Edelgas-Atome sind ${}^1 S_0$-Zustände). Bei den Valenzelektronen ist es dagegen nicht so einfach; hier gibt es
	verschiedene Möglichkeiten, die Grenzfälle dieser sind die \emph{Russel-Saunders-Kopplung} (LS-Kopplung) und die
	\emph{$jj$-Kopplung}.

	\item Russel-Saunders-Kopplung: Wenn die Spin-Bahn-Wechselwirkungen bei den Elektronen kleiner sind als die
	gegenseitige Kopplung der Bahndrehimpulse, dann koppeln alle Bahndrehimpulse $l$ zum Gesamtbahndrehimpuls $L$,
	alle Spins $s$ zum Gesamtspin $S$, und diese $L$ und $S$ koppeln schließlich zum Gesamtdrehimpuls $J$. Dabei
	gilt:
	\[ |\mathbf{L}| = \sqrt{L (L + 1)} \hbar \]
	\[ L = l_1 + l_2 , l_1 + l_2 - 1 , \ldots , l_1 - l_2 \]
	mit $l_1 \geq l_2$. $L = 0, 1, 2, \ldots$ wird $S, P, D, \ldots$-Term genannt; bei einem $P$-Term muss sich
	aber nicht notwendigerweise ein Elektron in einem $p$-Zustand befinden!\\
	Für den Gesamtspin gilt analog zum Gesamtdrehimpuls:
	\[ |\mathbf{S}| = \sqrt{S (S + 1)} \hbar \]
	Der Gesamtspin kann bei zwei Elektronen die Werte $0$ oder $1$ annehmen. Damit ergibt sich bei $S = 0$ für den
	Gesamtdrehimpuls $J = L$ (Singulett, Parahelium, besitzt keine Feinstruktur, da der Gesamtspin Null ist); bei $S
	= 1$ gibt es jedoch drei Möglichkeiten $J = L + 1, L, L - 1$ (Triplett, Orthohelium, besitzt eine
	Feinstruktur). Bei Systemen mit mehr Elektronen ist es analog; bei fünf Elektronen gibt es beispielsweise bei $S
	= 1/2$ ein Dublett, bei $S = 3/2$ ein Quartett und bei $S = 5/2$ ein Sextett.\\
	Auswahlregeln für optische Übergänge: $\Delta L = 0, \pm 1$ (im Unterschied zu $\Delta l = \pm 1$ bei
	Einzelelektronen). $\Delta L = 0$ bedeutet, dass sich die Quantenzustände zweier Elektronen gleichzeitig
	entgegengesetzt ändern. Für den Spin muss $\Delta S = 0$ gelten, d.h. bei optischen Übergängen gibt es kein
	Spin-Umklappen.

	\item $jj$-Kopplung: Diese tritt nur bei schweren Atomen auf, da die Spin-Bahn-Kopplung mit der Kernladungszahl
	$Z$ stark zunimmt. Hier koppelt bei jedem Elektron der Drehimpuls mit dem Spin, erst diese
	Einzel-Gesamtdrehimpulse $\mathbf{j}$ koppeln dann zum Gesamtdrehimpuls $\mathbf{J}$; es gibt keinen
	Gesamtbahndrehimpuls und keinen Gesamtspin.

	\item Die beiden Kopplungsarten sind nur Grenzfälle; oft gibt es eine Mischung beider Kopplungsarten
	(\emph{intermediäre Kopplung}); Das äußert sich beispielsweise dadurch, dass Übergänge zwischen Termen
	verschiedener Multiplizität (z.B. zwischen Singulett und Triplett) in gewissem Maß doch möglich sind.
\end{itemize}


\section{Röntgenspektren, innere Schalen}	% Kapitel weitgehend vollständig

\begin{itemize}
	\item Röntgen-Bremsstrahlung kommt dadurch zustande, dass Elektronen im Coulombfeld des Atomkerns abgelenkt und
	abgebremst werden. Dabei ergibt sich eine maximale Röntgen-Energie, die gleich der kinetischen Energie der
	Elektronen ist:
	\[ h \nu_\textrm{\small max} = e \cdot U_0 \]
	Die Intensitätsverteilung lautet (kontinuierliches Spektrum):
	\[ I(\nu) = \textrm{const} \cdot Z (\nu_\textrm{\small max} - \nu) \]
	Die räumliche Verteilung der Intensität der Bremsstrahlung entspricht dem Hertzschen Dipol, d.h. maximal
	senkrecht zur Einschussrichtung (zumindest bei kleinen Elektronenenergien, wo relativistische Effekte
	vernachlässigt werden können).

	\item Charakteristische Strahlung: Diese wird erzeugt bei der Rekombination von Löchern in tiefen (d.h.
	kernnahen) Elektronenschalen. Es entsteht ein Linienspektrum, das auch Feinstruktur aufweist und, im Gegensatz
	zu einem optischen Spektrum, nicht durch die chemische Bindung des Atoms beeinflusst ist. Man kann
	Röntgenspektren ähnlich wie die Spektren von Alkali-Atomen (d.h. Einelektronen-Systeme) rechnen -- der
	Unterschied ist, dass man hier nicht mit einzelnen Elektronen auf einer Elektronenbahn rechnet, sondern mit
	einzelnen Löchern in ansonsten vollbesetzten Elektronenschalen. So kann man einem Loch eine positive Ladung und
	auch einen Drehimpuls zuordnen (vom Betrag her gleich, aber entgegengesetzt wie der Drehimpuls des entfernten
	Elektrons).
\end{itemize}


% Aufbau des Periodensystems, Grundzustände der Elemente: Kapitel fehlt


\setcounter{section}{19}
\section{Kernspin, Hyperfeinstruktur}

\begin{itemize}
	\item Einflüsse des Kerns auf die Elektronenspektren: Mitbewegung des Kerns bei der Elektronenumlaufbewegung
	(führt zu einer Abhängigkeit der Rydberg-Konstante von der Kernmasse), \emph{Volumeneffekt} (durch
	unterschiedliche Volumina von isotopen Kernen unterschiedlicher Masse), \emph{Hyperfeinstruktur}

	\item Kernspin: Der Atomkern besitzt ebenfalls einen Spin, für den gilt:
	\[ |\mathbf{I}| = \sqrt{I (I + 1)} \hbar \]
	Für die $z$-Komponente gilt:
	\[ \mathbf{I}_z = m_I \hbar \]
	$m_I$ ist die \emph{magnetische Kernquantenzahl}; $m_I = I, \ldots, -I$, d.h. $2 I + 1$ Einstellmöglichkeiten.
	Das magnetische Dipolmoment des Kerns lautet:
	\[ \mathbf{\mu}_I = \gamma \mathbf{I} = \frac{g_I \mu_K}{\hbar} \mathbf{I} \]
	$\gamma$ ist das gyromagnetische Verhältnis, $\mu_K$ ist das \emph{Kernmagneton}:
	\[ \mu_K = \frac{e}{2 m_p} \hbar \]
	d.h. das Kernmagneton ist um das Massenverhältnis von Elektron zu Proton kleiner als das Bohrsche Magneton
	$\mu_B$. Der Kern-$g$-Faktor lautet $g_I = \gamma \hbar / \mu_K$; damit gilt:
	\[ |\mathbf{\mu}_I|_\textrm{\small max} = G_I \mu_K I \]

	\item Hyperfeinstruktur: Für Kerne, die einen Kernspin haben (d.h. die Spins der Nukleonen addieren sich nicht
	zu Null), wechselwirkt dieser mit den Drehimpulsen der Elektronenhülle, es kommt zur
	Hyperfeinstrukturaufspaltung. Da das magnetische Moment des Kerns drei Größenordnungen kleiner als das der
	Elektronen ist, ist die Aufspaltung der Spektrallinien entsprechend kleiner.
\end{itemize}


\section{Der Laser}

\begin{itemize}
	\item Arten der Photonenstreuung:
	\begin{itemize}
		\item \emph{Rayleigh-Streuung}: Wenn die Energie eines Photons nicht ausreicht, um ein Atom aus dem
		Grundzustand anzuregen, kommt es zu elastischer Streuung; wenn die Wellenlänge groß im Vergleich zum
		Atomdurchmesser ist, kann man die Streuung mit dem klassischen Elektromagnetismus beschreiben und
		spricht von der Rayleigh-Streuung. Die Streuwahrscheinlichkeit wächst mit $1/\lambda^4$, darum ist der
		Himmel blau, weil das blaue Licht stärker als das rote Licht gestreut wird.

		\item \emph{Raman-Streuung}: Ist die Energie eines Photons groß genug, um ein Atom in einen angeregten
		Zustand zu versetzen, kommt es zu inelastischer Streuung; die Energie des gestreuten Photons ist um die
		Anregungsenergie niedriger als die des einfallenden Photons.
		
		\item \emph{Resonanzabsorption}: Ist die Energie des einfallenden Photons genau so groß wie die
		Anregungsenergie, wird das Photon vollständig absorbiert, und ist nach der Streuung nicht mehr
		vorhanden.

		\item \emph{Photoeffekt}: Hier ist die Energie des einfallenden Photons groß genug, um das Elektron zu
		ionisieren; ebenso wie bei der Resonanzabsorption wird das Photon vollständig absorbiert, aber es ist
		anschließend ein Energieüberschuss vorhanden, welcher in die kinetische Energie des ionisierten
		Elektrons geht.

		\item \emph{Comptoneffekt}: Hier ist die Energie des einfallenden Photons deutlich größer als die
		Ionisierungsenergie, d.h. man hat es mit einem quasi-freien Elektron zu tun, bei dem kein Atomkern als
		Stoßpartner für den Impulsübertrag zur Verfügung steht. Das Photon wird inelastisch gestreut, der
		Energieverlust geht in die kinetische Energie des Elektrons über.
	\end{itemize}
	Atome können nicht nur durch Photonen angeregt werden, sondern auch durch inelastische Streuung beliebiger
	anderer Teilchen. Bei der Emission ist es analog -- die Anregungsenergie kann statt durch ein Photon auch durch
	kinetische Energie abgegeben werden.

	\item Arten der Photonenemission:
	\begin{itemize}
		\item Nachdem ein Atom angeregt ist, kann es durch \emph{spontane Emission} in den Grundzustand
		zurückkehren, wobei das emittierte Photon die selbe Wellenlänge wie das bei der Resonanzabsorption
		absorbierte Photon hat -- jedoch nicht die selbe Phase, denn die Emission erfolgt zu einem beliebigen
		späteren Zeitpunkt.
		
		\item Wenn die Rückkehr aus einem höher angeregten Zustand in den Grundzustand über mehrere
		Zwischenschritte erfolgt, spricht man von \emph{Fluoreszenz} -- es werden mehrere Photonen ausgesandt,
		die andere Wellenlängen haben wie das zur Anregung verwendete Photon.
		
		\item Es gibt metastabile Zustände, bei denen die spontane Emission nicht bereits nach Nanosekunden,
		sondern nach Sekunden oder Minuten erfolgt; in diesem Fall spricht man von \emph{Phosphoreszenz}.

		\item Wenn sich ein Atom im angeregten Zustand befindet und ein weiteres Photon empfängt, welches
		ebenfalls die Anregungsenergie besitzt, wird das Atom zur Emission eines Photons gebracht -- man spricht
		von \emph{stimulierter Emission}. Das emittierte Photon hat die selbe Wellenlänge, Richtung und Phase
		wie das einfallende Photon, welches dabei erhalten bleibt (danach sind also zwei gleiche Photonen
		vorhanden). Wenn ein ganzes System aus angeregten Atomen zur Emission stimuliert (z.B. ein Kristall),
		dann haben alle emittierten Photonen die selbe Wellenlänge, Richtung und Phase -- das Licht ist
		kohärent.
	\end{itemize}

	\item Laser: Akronym aus "`light amplification by stimulated emission of radiation"'
	
	\item Stimulierte Emission: Die Wahrscheinlichkeit der Absorption eines Photons ist gleich jener der
	stimulierten Emission. Da normalerweise die meisten Atome im Grundzustand sind, überwiegt die Absorption. Wenn
	man mit intensiver Strahlung die Atome anregt und wenn der angeregte Zustand hinreichend langlebig ist, schafft
	man es, dass mehr Atome im angeregten Zustand als im Grundzustand sind -- man nennt dies
	\emph{Besetzungsinversion}. Erreicht wird das durch das \emph{optische Pumpen}; dabei werden die Atome in höher
	angeregte Zustände versetzt, von denen aus sie durch spontane Emission oder durch inelastische Stöße
	(strahlungsloser Übergang) in den gewünschten angeregten Zustand geraten. Durch Spiegel an den Enden des Lasers
	durchqueren spontan emittierte Photonen das Material mehrfach und bringen es dabei zur stimulierten Emission --
	es kommt zur Ausbildung stehender Wellen zwischen den verspiegelten Enden, man spricht vom
	\emph{Laser-Resonator}.
	
	\item Arten von Lasern: Rubin-Laser werden durch eine Blitzlampe angeregt und erzeugen Laserblitze mit einer
	Dauer von einigen Millisekunden. Bei Helium-Neon-Lasern kommt die Besetzungsinversion dadurch zustande, dass
	Helium-Atome durch eine elektrische Entladung angeregt werden; ihr angeregter Zustand ist geringfügig kleiner
	als der der Neon-Atome. Mit Hilfe kinetischer Energie können angeregte Helium-Atome die Neon-Atome via
	Stoßprozesse anregen, wobei unter diesem Anregungszustand beim Neon ein weiterer Zustand ist, der normalerweise
	unbesetzt ist, wodurch man hier unmittelbar zu einer Besetzungsinversion kommt. Durch stimulierte Emission
	findet der Übergang zwischen beiden Niveaus statt. He-Ne-Laser arbeiten kontinuierlich. Bei Farbstofflasern
	werden große Farbstoffmoleküle angeregt, die neben den elektronischen Niveaus viele Rotations- und
	Schwingungsniveaus besitzen, welche dicht beeinander liegen und damit ein quasi kontinuierliches Energiespektrum
	bieten. Durch Variation der Resonatorlänge kann man auswählen, welche Wellenlänge stimuliert werden soll -- das
	macht diesen Lasertyp durchstimmbar.

	\item Besonderheiten von Laserlicht:
	\begin{itemize}
		\item hohe Monochromasie: Es lassen sich Linienbreiten von 1~Hz erreichen, damit ergibt sich eine
		Kohärenzlänge von 300000~km; Licht aus normalen Lampen besteht dagegen aus Lichtwellenzügen, die gerade
		mal 1~m lang sind.

		\item starke Bündelung: praktisch nur begrenzt durch Beugungseffekte am Austrittsfenster

		\item kurze Impulse möglich: bis zu $10^{-13}~\textrm{s}$

		\item hohe Leistung (speziell im Impulsbetrieb) in einem sehr engen Spektralbereich ($10^{13}$ Watt)
	\end{itemize}
	
	\item Laserkühlung: Wenn sich ein Atom auf eine Lichtquelle hin bewegt, sieht es dessen Wellenlänge
	Doppler-verschoben. Wenn nun die Wellenlänge von Laserlicht so bemessen ist, dass die Photonenenergie knapp
	unterhalb der Anregungsenergie des Atoms ist, dann kann das Atom angeregt werden, wenn die fehlende Energie aus
	der kinetischen Energie des Atoms genommen wird -- das Atom wird abgebremst, d.h. gekühlt. Der selbe
	Energiebetrag wird zwar bei der Emission wieder abgegeben; allerdings funktioniert die Absorption nur in
	Bewegungsrichtung (d.h. die Energie reicht nur bei Bewegung in Richtung Laser, es kann also nur eine Abbremsung
	erfolgen, keine Beschleunigung), während die Emission statistisch verteilt in alle Raumrichtungen erfolgen kann,
	im Durchschnitt also die Geschwindigkeit nicht beeinflusst. Durchgeführt wird dieser Versuch in Ionenfallen, wo
	das Atom durch ein magnetisches und ein elektrisches Feld an seinem Platz gehalten wird. Auch für Versuche mit
	Antimaterie sind Ionenfallen notwendig, weil diese sich sonst mit dem Material der Gefäßwände zerstrahlen würde.
\end{itemize}

\end{document}
