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\author{Christoph Moder}
\title{Geophysik-Seismik}
%\date{2004}

\begin{document}

% Kapitelnummerierung: Paragraph-Zeichen, dann arabisch
% Die Nummerierung der Kapitel wird mit dem Befehl \thesection gemacht, d.h. diesen umdefinieren
%\let\oldthesection\thesection
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% Unterkapitelnummerierung: a, b), c) usw.
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% Unterkapitelnummerierung: griechisch (wie macht man das???)
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% Titelseite
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\maketitle

% Beginn des Texts

\section{Elastizitätstheorie}

\subsection{Längenänderung und Volumenänderung}

Elastizitätsmodul: Verhältnis zwischen Spannung $\tau$ und relativer Längenänderung
\[ \tau = E \cdot \frac{\delta l}{l} \]

Wenn man auf ein quaderförmiges Volumenelement eine Spannung ausübt, ändert sich meist die Länge
in allen Richtungen, d.h. es ergibt sich eine Volumenänderung.\\
Das Volumen im undeformierten Zustand ist:
\[ \delta V = dx_1 \cdot dx_2 \cdot dx_3 \]
Im deformierten Zustand sieht es so aus (Deformation um $\delta u_1, \delta u_2, \delta u_3$):
\[ \delta V' = dx_1 \left(1 + \frac{\partial u_1}{\partial x_1}\right) \cdot dx_2 \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_2}\right) \cdot dx_3 \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right) \]
Wenn man diesen Term ausmultipliziert, stehen die infinitesimalen Brüche linear, quadratisch und kubisch da.
Die quadratischen und kubischen Terme vernachlässigt man, so dass sich ergibt:
\[ \delta V' \approx \delta V \cdot \left( 1 + \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right) \right) \]
Im Experiment ergibt sich, dass die relative Längenänderung bei der Dehnung von Gesteinen annähernd linear verläuft,
bis es zum Bruch kommt. Das bestätigt den Sinn der Näherung. Für die relative Volumenänderung ergibt sich dann:
\[ \frac{\delta V' - \delta V}{\delta V} = -\frac{p}{K} = \textrm{div} \vec{u} \]
$K$: Kompressionsmodul, Proportionalitätsfaktor zwischen Druck und Volumenänderung

% Begriff "linear strain", "dilatational/volumentric/cubical strain"


\subsection{Scherdeformation}

Bei Scherdeformationen greifen die Kräfte tangential an den Außenflächen des Körpers an, es kommt zu einer Winkeländerung,
aber das Volumen bleibt idealerweise konstant. Eine Scherung tritt nur dann auf, wenn Winkeländerungen zwischen
körpereigenen Richtungen auftreten, ansonsten handelt es sich um eine simple Rotation.
\[ \tau = G \cdot \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = G \cdot \tan(\gamma) \approx G \cdot \gamma \]
$G$: Schermodul

Bei einer Rotation gilt:
\[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \]
Um eine Deformation zu beschreiben, gibt man deshalb jeweils das arithmetische Mittel der beiden Verformungen
in der betrachteten Ebene an (das bei einer Rotation zu Null wird):
\[ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) \]

Man kann jede Verformung zerlegen in eine Translation, Rotation und Deformation:
\[ u'_i = u_i + \underbrace{\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)}_{= \xi_{ij}} \delta x_j + \underbrace{\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)}_{= \varepsilon_{ij}} \delta x_j \]
$u_i$: Translation\\
$\xi_{ij}$: Rotationstensor (antisymmetrisch)\\
$\varepsilon_{ij}$: Deformationstensor (symmetrisch)

Der Rotationstensor hat nur drei verschiedene Elemente und kann daher als Vektor geschrieben werden, d.h. $\xi_{ij} \vec{r} = \vec{\xi} \times \vec{r}$ (Rotation von $\vec{r}$ um den Winkel $|\xi|$ um die Achse $\vec{\xi}$).

Der Deformationstensor kann weiter zerlegt werden in die Diagonalelemente und in die Nichtdiagonalelemente.
Die Diagonalelemente geben die reine Volumenänderung an (d.h. ohne Scherung), die Nichtdiagonalelemente
geben die reine Verformung an (d.h. ohne Volumenänderung). Den Deformationstensor kann man diagonalisieren,
wodurch die Elemente, die die reine Verformung angeben, verschwinden -- übrig bleiben die Elemente auf
der Hauptdiagonalen, die die Deformation entlang der drei Hauptdeformationsrichtungen angeben.


\subsection{Spannungen}

Für eine Oberflächenkraft an der Oberfläche mit der Normalen $dx_1$ in Abhängigkeit von der Spannung gilt:
\[ \vec{F} = \vec{tau} dx_2 dx_3 \]

Die Spannung (= Kraft pro Fläche, analog zum Druck) lässt sich für nicht-isotrope Medien ebenfalls als Tensor
schreiben. Analog zum Deformationstensor lässt sich auch der Spannungstensor zerlegen, und zwar in den
Drucktensor (Hauptachsenelemente) und den deviatorischen Spannungstensor:
\[ \tau_{ij} = -\delta_{ij} p + (\tau_{ij} + \delta_{ij} p) \]
Der erste Index von $\tau_{ij}$ gibt die Richtung der Kraft an, der zweite Index die Richtung der Flächennormale,
an der die Kraft angreift.

Ein Drehmoment ist Kraft mal Hebelarm, z.B. $F_1 \cdot dx_1$. Weil in der Elastostatik (d.h. bei ruhenden Körpern)
jedes Drehmoment Null sein muss, muss für den Spannungstensor gelten $\tau_{ij} = \tau_{ji}$, damit sich die
Spannungen, die ein Drehmoment erzeugen, gegenseitig aufheben. Der Spannungstensor ist damit symmetrisch, er enthält
sechs verschiedene Elemente (drei auf der Hauptachse, drei paarweise Nichtdiagonalelemente). Die Winkelbeschleunigung
$\dot{\omega}$ muss in der Elastostatik ebenfalls Null sein ($\theta$: Trägheitsmoment):
\[ \dot{\omega} = \frac{\tau_{ij} - \tau_{ji}}{\theta} \]

Der Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor $\tau$ und dem Deformationstensor $\varepsilon$ lautet:
\[ \tau_{ij} = c_{ijkl} \varepsilon_{kl} \]
Weil sowohl der Spannungs- als auch der Deformationstensor jeweils 6 unterschiedliche Elemente besitzen,
müsste die Elastizitätskonstante $c$ ebenfalls ein Tensor mit 36 Elementen sein. In Wirklichkeit hat er aber
weniger Elemente


% Lücke

Für eine Newtonsche Flüssigkeit (mit der Viskosität $\eta$) gilt:
\[ \tau_{ij} = \frac{1}{2} \eta \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) \]
% Herleitung?


\subsection{Wellenausbreitung}

Die Bewegungsgleichung ist eine Differenzialgleichung (hergeleitet aus dem Kräftegleichgewicht Masse mal Beschleunigung
ist Kraft):
\[ \varrho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \varrho \ddot{x} + \frac{\partial \tau_{ji}}{\partial x_j} \]
Diese Differenzialgleichung wird durch harmonische Wellenfunktionen gelöst:
\[ A(x,t) = A_0(x) \sin \left(\frac{2 \pi}{L} (x - c t)\right) \]
$A_0$ ist dabei die Amplitude, das Argument der Sinusfunktion die Phase.


\section{Seismometer}


\subsection{Aufbau}

Seismograph = Seismometer + Registrierung

Ein Trägheitsseismometer besteht aus einer trägen Masse, einer rückstellenden Kraft (typischerweise Feder),
einer Dämpfung (typischerweise Wirbelstrombremse oder Paddel in Flüssigkeit), und einer Messeinheit.

Weitere Seismometertypen sind das \emph{Deformationsseismometer} (\emph{Strainseismometer}) und das \emph{Hydrophon}
(d.h. ein Druckaufnehmer zum Einsatz unter Wasser).

Schwingungsperiodendauer für eine Spiralfeder: $T = 2 \pi \sqrt{m / l}$\\
Um z.B. eine Periode von $T = 20$ Sekunden zu erreichen, müsste die Feder $l = 100 \rm{m}$ lang sein (Masse: $m = 1 \rm{t}$);
daher muss man verschiedene Tricks anwenden, um die Periodendauer zu verlängern, z.B. indem man die
Feder über einen Hebel an der Masse angreifen lässt (Hebelarm der Masse größer als der der Feder), oder
durch Verwendung eines Horizontalpendels.


\subsection{Messeinheit}

In der Messeinheit sind folgende Techniken möglich:
\begin{itemize}
	\item \emph{Kapazitive Wegaufnehmer}: Plattenkondensator, bei dem sich die Kapazität mit dem Plattenabstand ändert
	\item \emph{Induktive Wegaufnehmer}: Ein Weicheisenkern bewegt sich in einem Transformator,
		der mit ca. $1000 \textrm{Hz}$ gespeist wird; die Spannung an der Sekundärspule hängt
		von der Position des Weicheisenkerns ab.
	\item \emph{Elektrodynamische Wegaufnehmer}: Ein Magnet bewegt sich in einer Induktionsspule; im Gegensatz zum
		induktiven Wegaufnehmer ist die Induktionsspannung nicht proportional zur Position, sondern zur
		Geschwindigkeit.
\end{itemize}

Bei elektrodynamischen Wegaufnehmern stellt die \emph{Generatorkonstante} den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit
und induzierter Spannung her:
\[ U_{ind} = G \cdot \dot{z}(t) \]


\subsection{Störsignalunterdrückung}

Zur Störsignalunterdrückung bei elektrodynamischen Wegaufnehmern verwendet man zwei entgegengesetzt
gewickelte Spulen. Ein magnetisches Störfeld erzeugt in beiden Spulen entgegengesetzte Spannungen,
die sich somit kompensieren, während sich die durch den Magneten induzierten Spannungen addieren.

Eine ähnliche Technik ist bei Hydrophonen möglich, indem man das Signal von zwei Membranen, die sich auf entgegengesetzten
Seiten des Hydrophons befinden, aufnimmt. Bei Strömung werden beide Membranen in die gleiche Richtung
bewegt, wodurch sich das Signal auslöscht, während bei einer Druckänderung beide Membranen gleichzeitig
nach innen bzw. außen bewegt werden, also in entgegengesetzte Richtungen, was die Signalamplitude maximiert.

Auch durch die Anordnung der Geophone lassen sich bestimmte unerwünschte Signale unterdrücken. Wenn
die Wellenlänge einer Geophongruppe gleich einem ganzzahligen Vielfachen der scheinbaren Wellenlänge
des Störsignals ist, heben sich die Beiträge der einzelnen Geophone auf, am Ausgang erscheint kein Signal.
So kann man z.B. Oberflächenwellen unterdrücken (die genauen Wellenlängen müssen vorher durch Probeschüsse ermittelt
werden); die reflektierten Wellen fallen fast senkrecht von unten ein und haben deshalb sehr große scheinbare
Wellenlängen, weshalb sie nicht gefiltert werden (die Geophone registrieren sie gleichphasig, die Signale addieren sich).


\subsection{Resonanzfrequenz und Dämpfung}

Die Dämpfung ist nötig, damit ein Erdstoß das Seismometer nicht längere Zeit schwingen
lässt, sondern möglichst nur zu einer Schwingung führt. Die Resonanzfrequenz soll möglichst niedrig gewählt werden,
damit die Erdbebenwellen im Frequenzbereich oberhalb der Resonanzfrequenz liegen.
Dort ist die Amplitude der Schwingung unabhängig von der Anregungsfrequenz.

% [...] Grafik Phasenverschiebung usw.


\subsection{Ermittlung der Dämpfungskonstanten}

Eine gedämpfte Schwingung hat eine Exponentialfunktion $\exp(-\varepsilon t)$ als Einhüllende. Das Verhältnis
zweier aufeinander folgenden Schwindungen (Schwingungsperiode $T_D$ bei Dämpfung) lautet:
\[ \frac{z(t)}{z(t + T_D)} = \frac{e^{-\varepsilon t}}{e^{-\varepsilon (t + T_D)}} = e^{\varepsilon T_D} \]
Das \emph{logarithmische Dekrement} $\lambda$ ist der Logarithmus davon ($T_0$: Schwingungsperiode bei Resonanz):
\[ \lambda = \ln \frac{z(t)}{z(t + T_D)} = \varepsilon T_D = \frac{\varepsilon T_0}{\sqrt{1 - D^2}} = \frac{2 \pi \varepsilon}{\omega_0 \sqrt{1 - D^2}} = \frac{2 \pi D}{\sqrt{1 - D^2}} \]
Wenn man nicht benachbarte Maximalamplituden nimmt, sondern eine Maximalamplitude und den Betrag der
daneben liegenden Minimalamplitude, ergibt sich:
\[ \lambda = 2 \ln \left| \frac{z(t)}{z(t + T_D/2)} \right| \]
Die Dämpfungskonstante $D$ ergibt sich dann als:
\[ D = \frac{\lambda}{\sqrt{4 \pi^2 + \lambda^2}} \]
Für die Kreisfrequenz bei Resonanz $\omega_0$ und bei Dämpfung $\omega_D$ gilt:
\[ \omega_0 = \omega_D \frac{1}{\sqrt{1 - D^2}} \]


\subsection{Arten von Erdbebenwellen}	% Skript S. 38

\begin{itemize}
	\item \emph{P-Wellen} (Primärwellen): Longitudinalwellen, die sich durch Kompression fortpflanzen, und somit
		auch durch flüssiges Material laufen können. Ausbreitungsgeschwindigkeit:
		\[ v_p = \sqrt{\frac{4/3 \mu + K}{\varrho}} \]
		($\mu$: Schermodul; $K$: Kompressionsmodul)
	\item \emph{S-Wellen} (Sekundärwellen): Transversalwellen, die sich nur durch festes Material ausbreiten können,
		weil Flüssigkeiten nicht geschert werden können. Die Bewegung kann sowohl in horizontaler oder
		vertikaler Richtung erfolgen; sie kann auch in einer Richtung polarisiert sein.	Ausbreitungsgeschwindigkeit:
		\[ v_s = \sqrt{\frac{\mu}{\varrho}} \]
	\item \emph{Oberflächenwellen}: Diese Wellen laufen entlang der Erdoberfläche und sind deshalb auf kurzen Entfernungen
		schneller (weil der Weg kürzer ist, wenn sie nicht erst in die Tiefe gehen und dort reflektiert werden),
		auf langen Entfernungen dagegen langsamer (weil der Weg auf der gekrümmten Erdoberfläche länger
		als der direkte Weg durch die Erde ist). Man unterscheidet \emph{Love-Wellen}, die Schichtgrenzen unter
		der Oberfläche erfordern (wobei Dispersion auftritt) und linear polarisierte Transversalwellen sind,
		und \emph{Rayleigh-Wellen}, die sowohl transversal als auch longitudinal sind und
		bei denen die Punkte auf der Erdoberfläche retrograd-elliptische Bewegungen beschreiben
		(die Normalenvektoren der Ellipsen sind parallel zur Erdoberfläche und senkrecht
		zur Ausbreitungsrichtung der Welle; die Ellipsen werden in Gegenrichtung zur Ausbreitungsrichtung der
		Welle durchlaufen); sie sind nicht dispersiv, falls sich unter der Oberfläche keine Schichtgrenzen befinden.
\end{itemize}

Die Amplitude von Erdbebenwellen ist in der Größenordnung von Mikrometern. Gute Seismometer können auch noch
Amplituden im Nanometer-Bereich aufnehmen.

% [...] Phasen- und Gruppengeschwindigkeit; Dispersion; Skript S. 40


\subsection{Grundlagen der Strahlenseismik}

Wenn nur die Ausbreitungsrichtung und die Laufzeit interessiert, kann man die Wellenform vernachlässigen,
und die Ausbreitung der Welle durch Strahlen beschreiben (vgl. Lichtstrahlen).

\emph{Fermatsches Prinzip}: Die Laufzeit einer Welle zwischen zwei Punkten ist extremal. Damit ergibt sich
bei Medien verschiedener Geschwindigkeiten das \emph{Snelliussches Brechungsgesetz}
(die Winkel werden zwischen den Strahlen und dem Lot auf die Grenzfläche gemessen):
\[ \frac{\sin i_1}{v_1} = \frac{\sin i_2}{v_2} \]
Dieses Gesetz gilt sowohl für P- als auch für S-Wellen, und auch, wenn eine Welle bei der Brechung umgewandelt
wird (\emph{Konversion}: P zu S bzw. S zu P).
Es gilt auch für die Reflexion von Wellen an der Grenzschicht, wo auch eine Umwandlung
des Wellentyps auftreten kann. Damit können z.B. aus einer einfallenden P-Welle vier neue Wellen entstehen:
eine reflektierte P-Welle, eine gebrochene P-Welle, eine reflektierte S-Welle und eine gebrochene S-Welle.
Dabei breiten sich alle Wellen in unterschiedliche Richtungen aus, weil erstens die Geschwindigkeiten auf beiden
Seiten der Grenzfläche unterschiedlich sind und zweitens die Ausbreitungsgeschwindigkeiten bei P- und S-Wellen
sich ebenfalls unterscheiden; nach obigem Brechungsgesetz führt das zu unterschiedlichen Winkeln.

\emph{Huygens-Fresnelsches Prinzip}: Jeder Punkt, der von einer Welle erfasst wird, wird selbst zum Ausgangspunkt
einer Elementarwelle (Kugelwelle). Eine Wellenfront ist nichts anderes als die Überlagerung der Elementarwellen
benachbarter Punkte -- in Richtung der Wellenfront addieren sich die Wellen, senkrecht dazu löschen sie sich paarweise aus.

\emph{Kritischer Winkel}: Eine unter dem kritischen Winkel $i_c$ einfallende Welle wird unter einem Winkel von
$90^\circ$ gebrochen ($i_c = i_1$, wenn $i_2 = 90^\circ$; nur möglich, wenn $v_2 > v_1$).
Das bedeutet, sie läuft an der Grenzschicht entlang, und erzeugt dort nach dem Huygens-Fresnelschen Prinzip Elementarwellen.
Diese addieren sich zu einer Wellenfront, die sich kegelförmig rund um die an der Grenzfläche entlang laufenden Welle
ausbreitet -- genauso wie beim Mach'schen Kegel, der bei Überschallgeschwindigkeit den Überschallknall transportiert.
Dieses Phänomen wird bezeichnet als \emph{Kopfwelle}, \emph{Mintrop-Welle}, \emph{geführte Welle} oder \emph{kritisch
refraktierte Welle}.\\
Ist der Einfallswinkel größer als der kritische Winkel, tritt Totalreflexion auf, der Strahl kann die Grenzschicht
nicht durchdringen.

% Geschwindigkeit der Mintrop-Welle = Geschwindigkeit der unteren Schicht?
% Vergleich der Geschwindigkeiten: P-Welle, S-Welle, Oberflächenwelle


\subsection{Graphische Konstruktion des gebrochenen Strahls}

Nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz ist das Verhältnis $(\sin i)/ v$ konstant. Wenn man also den
Einfallswinkel und die Geschwindigkeiten auf beiden Seiten der Grenzfläche gegeben hat, trägt man auf
dem einfallenden Strahl eine Strecke ab (ausgehend von der Grenzfläche), deren Länge proportional zur Geschwindigkeit ist.
Nun nimmt man den Abstand des Streckenendes vom Einfallslot, und zeichnet parallel zum Ausfallslot eine
Gerade mit dem gleichen Abstand. Dann zeichnet man einen Kreis um den Schnittpunkt Einfallslot/Grenzfläche
mit einem Radius, der proportional zur Geschwindigkeit im zweiten Medium ist; durch den Schnittpunkt
diesen Kreises mit der Parallelen zum Ausfallslot verläuft nun der gebrochene Strahl.


\subsection{Laufzeitkurven}

Wenn man in einem Diagramm die Zeiten gleichartiger Impulse über die Entfernungen der Geophone von einem
Referenzpunkt anträgt, ergibt sich eine \emph{Laufzeitkurve} (LZK). Wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit
im Untergrund konstant und die Wellenfront eben ist, ergibt sich als Laufzeitkurve eine Gerade.
Ihre Steigung, auch als \emph{Strahlparameter} $p$ bezeichnet, hängt von der Ausbreitungsgeschwindigkeit $v_1$
und dem \emph{Emergenzwinkel} (Winkel zwischen Wellenfront und Erdoberfläche bzw. zwischen Wellenstrahl
und Normalen auf die Erdoberfläche) ab:
\[ p = \frac{\sin i}{v_1} = \frac{1}{v} \]
(Benndorfscher Satz)

Weil der Strahlparameter sowohl Emergenzwinkel als auch Ausbreitungsgeschwindigkeit berücksichtigt, ändert
er sich bei Brechung, Reflexion und Konversion nicht.

Hat die Laufzeitkurve die Steigung $p = 0$, bedeutet das, dass die Wellenfront an allen Geophonen gleichzeitig
eintrifft, was einer Scheingeschwindigkeit $v = \infty$ entspricht. Das kann passieren, wenn sich die Welle
senkrecht zu den Geophonen bewegt, d.h. die Wellenfront verläuft parallel zu den Geophonen.

Ein Laufzeitkurvendiagramm enthält folgende Komponenten (Beispiel: zwei Schichten, horizontale Grenzfläche,
Ausbreitungsgeschwindigkeit in der unteren Grenzfläche größer als in der oberen Schicht $\Rightarrow$ es gibt Mintrop-Wellen):
\begin{itemize}
	\item Oberflächenwellen: Eine Gerade, die vom Schusspunkt ausgeht, und deren Steigung die reziproke
		Geschwindigkeit in der obersten Schicht angibt.
	\item Reflektierte Wellen: Sie beschreiben eine Hyperbel. Nach der Spiegelpunkt-Methode kann man
		den Weg der reflektierten Welle durch eine Gerade ersetzen, die vom an der Grenzfläche gespiegelten
		Schusspunkt zum Geophonpunkt läuft. Wenn man den Laufweg über den Pythagoras beschreibt, ergibt sich
		bei einer um den Winkel $\alpha$ geneigten Grenzfläche, dem Abstand $h$ zwischen Schusspunkt
		und Grenzfläche und dem Abstand $s$ zwischen Schusspunkt und Geophonpunkt folgende Gleichung
		für die Laufzeit:
		\[ T^2 = \frac{(s - 2 h \sin \alpha)^2}{v_1^2} - \frac{(2 h \cos \alpha)^2}{v_1^2} \]
		Dies ist eine Hyperbelgleichung.
	\item Mintrop-Wellen: Eine Gerade, die an der Reflexionshyperbel beginnt
		(sog. \emph{kritische Entfernung} zum Schusspunkt), weil dort die Welle im kritischen Winkel
		an der Grenzschicht reflektiert wird und sofort wieder zurück läuft,
		und eine geringere Steigung als die Gerade der Oberflächenwelle hat (weil sie an
		der Grenzschicht mit der Geschwindigkeit $v_2$ läuft, die größer als $v_1$ ist,
		darum ist der Strahlparameter, der die Steigung angibt, geringer).
		Es handelt sich um eine Gerade, weil die Welle parallel zur Oberfläche läuft
		(wodurch die Laufzeit linear mit der Entfernung wächst) -- der Weg von der Oberfläche
		zur Grenzschicht (unter dem kritischen Winkel) wird zweimal durchlaufen und geht als konstantes Offset ein.
		Wegen der geringeren Steigung schneidet die Mintrop-Gerade die Oberflächenwellen-Gerade
		in der sog. \emph{Überholentfernung}.
		Wenn man die Gerade bis zum Schusspunkt extrapoliert, erhält man als
		Achsenabschnitt der Zeitachse die \emph{Intercept-Zeit} $\tau$.
		% Bedeutung der Intercept-Zeit?
\end{itemize}


\section{Methoden zur Auswertung von Seismogrammen}

\subsection{x-y-Methode}

\subsection{Stapelung}

\subsection{Migration}

\emph{Migration}: Umrechnung eines Seismogramms, so dass daraus die wahre Form der Reflektoren sichtbar wird.

Verfahren der Kreisbogenmigration: In einer Lotzeitsektion wird angenommen, dass der Punkt, an dem die seismische
Welle reflektiert wurde, senkrecht unter dem Schusspunkt liegt. Das trifft für horizontale Reflektoren zu,
aber nicht für geneigte oder gekrümmte Reflektoren (lediglich für die Punkte des gekrümmten Reflektors, an dem
die Tangente horizontal ist), denn dort wird das Echo nicht am Schusspunkt aufgezeichnet, sondern
entfernt davon. In der Lotzeitsektion wird dieses Echo dann einem falschen Reflektorpunkt zugeordnet
(nämlich einem Punkt senkrecht unter dem Geophon). Aus der gemessenen Zeit kann man also nicht schließen,
wo genau der Reflektorpunkt ist, sondern nur, dass er auf einem Kreis um den Geophonpunkt ist, dessen Radius
proportional zur gemessenen Zeit ist. Bei der Kreisbogenmigration zeichnet man also zu jedem einzelnen Echo
einen Kreis (Kreismittelpunkt: an der Erdoberfläche senkrecht über dem Echo), und aus den Schnittpunkten der
Kreise ergibt sich die wahre Form des Reflektors.


\section{Seismologie}

Als Seismologie bezeichnet man die Lehre von Erdbeben.


\subsection{Grundlagen}

\begin{itemize}
	\item \emph{Hypozentrum}: Ort im Erdinneren, wo das Beben entsteht
	\item \emph{Epizentrum}: Ort auf der Erdoberfläche über dem Hypozentrum
	\item \emph{Isoseisten}: Linien auf einer Karte, die Orte gleicher Erdbebenintensität verbinden.
	\item Die weltweite Erdbebengefährdung nimmt zu, weil immer mehr Menschen in Erdbebengebieten leben.
	\item Erdbeben geben Hinweise, wie es im Erdinneren bzgl. Deformationen und Spannungen aussieht.
	\item Erdbeben sind auch energiereiche Quellen elastischer Wellen, aus deren Brechungs- und Reflexionsverhalten
		man auf die Struktur der Erde schließen kann.
	\item Die globale Verteilung der Erdbebentätigkeit konnte erst mit der Plattentektonik erklärt werden.
		Die starren Lithosphärenplatten bewegen sich auf der weicheren Asthenosphäre, dadurch entstehen
		an den Rändern konvergente oder divergente Bewegungen (\emph{sea floor spreading}). Bei konvergenten
		Bewegungen taucht eine Platte unter der anderen ab -- handelt es sich um eine kontinentale und eine
		ozeanische Platte, wird letztere subduziert, weil sie schwerer ist. In der Subduktionszone bildet
		sich eine charakteristische Verteilung der Erdbebenherde aus, die man als \emph{Wadati-Benioff-Zone}
		bezeichnet.
	\item Die meisten Erdbeben tretten an Plattenrändern auf (\emph{Interplattenseismizität}). Aber auch im Inneren
		der Platten gibt es Erdbeben (ca. 10\% der gesamten Erdbebenenergie); diese \emph{Intraplattenseismizität}
		kann mit der Plattentektonik alleine nicht erklärt werden. In Deutschland ist die Intraplattenseismizität
		der vorherrschende Erdbebentyp, und konzentriert sich auf folgende Gebiete: Rheingraben, niederrheinische
		Bucht, Schwäbische Alb und Vogtland.
\end{itemize}


\subsection{Klassifizierung der Erdbebenstärke}

Einteilung nach den Auswirkungen, makroseismische Verfahren:
\begin{itemize}
	\item Klassifizierung der Stärke von Erdbeben nach ihren Auswirkungen auf der Erdoberfläche
	\item Niedrige Intensitätsgrade werden mit Hilfe der menschlichen Sinne bestimmt.
	\item Mittlere Intensitätsgrade werden durch Schäden an Gebäuden bestimmt.
	\item Hohe Intensitätsgrade werden durch Veränderungen an der Landschaft bestimmt.
	\item Die Ermittlung der Auswirkungen wird mit Hilfe von Fragebögen durchgeführt.
	\item International werden die Auswirkungen von Erdbeben in mehreren verschiedenen Skalen klassifiziert.
	\item \emph{Epizentralintensität}: Intensität am Epizentrum
	\item Wenn man die Auswirkungen in eine Isoseistenkarte einzeichnet, kann man daraus grob auf die Herdtiefe
		schließen -- je enger die Isoseisten liegen, desto näher an der Erdoberfläche muss der Herd gewesen sein.
	\item Probleme: Die Einteilung ist nicht an die physikalischen Bedingungen bei der Entstehung gekoppelt,
		Beeinflussung ist durch viele Faktoren möglich (Empfindlichkeit der Bausubstanz, Beurteilung durch
		die Menschen), und das Verfahren ist generell nur möglich in dicht besiedelten Gebieten
		(d.h. wo viele Häuser und Menschen sind).
\end{itemize}

Einteilung nach der Energie am Erdbebenherd, instrumentelle Verfahren:
\begin{itemize}
	\item Die Amplitude eines Bebens nimmt mit der Entfernung zum Epizentrum ab. Daher kann man Erdbeben vergleichen,
		indem man die gemessene Intensität zusammen mit den Entfernungen der Messorte vom Epizentrum vergleicht.
	\item \emph{Richterskala}: Einteilung nach einer Skala analog zur Sternhelligkeitsskala:
		\[ M_L = \log_{10} A(s) - \log_{10} A_0(s) \]
		Dabei ist $A$ die Maximalamplitude des Bebens, $A_0$ die Maximalamplitude eines Referenzbebens und $s$ die
		Entfernung vom Epizentrum (\emph{Epizentraldistanz}).
		Die Skala ist so geeicht, dass $M_L = 3$ erreicht wird, wenn in der Entfernung
		$s = 100 \textrm{km}$ die Amplitude $1 \textrm{mm}$ auf einem \emph{Wood-Anderson-Seismograph} erreicht wird.\\
		Die Formulierung "`nach oben offene Richterskala"' ist übrigens nicht ganz richtig -- die Skala an sich
		ist zwar nach oben offen, aber auf der Erde ist eine Magnitude von maximal 9,5 möglich (dann, wenn
		sich bei einer Verwerfung die maximal mögliche Spannung angesammelt hat und die
		Energie komplett freigesetzt wird).
	\item Bei tiefen Beben nimmt die Amplitude nicht mehr näherungsweise linear mit der Entfernung ab. Daher braucht
		man andere Gleichungen, z.B. die \emph{Raumwellenmagnitude} $M_b$
		(gültig für alle Herdtiefen und $s > 16^\circ$):
		\[ M_b = \log_{10} \left(\frac{A}{T}\right) + Q(h,s) \]
		$A$: Bodenamplitude ($\mu\textrm{m}$)\\
		$T$: Schwingungsperiode in Sekunden\\
		$Q(h,s)$: Skalierungsfunktion, abhängig von der Herdtiefe $h$ und der Epizentraldistanz $s$\\
		\emph{Oberflächenwellenamplitude} $M_S$ (für $h \leq 60 \textrm{km}$ und $s \geq 20^\circ$):
		\[ M_S = \log_{10} \left(\frac{A}{T}\right) + 1,66 \log_{10} s + 3,3 \]
	\item Zusammenhang zwischen Magnitude und Energie (Einheit: Joule):
		\[ \log_{10} E = 4,8 + 1,5 M_S \]
		Ein Unterschied von einer Magnitudeneinheit bedeutet also eine $10^{1,5}$-fach höhere Energie.
	\item \emph{Magnitudenhäufigkeitskurve}: Es gibt pro Jahr ungefähr ein Beben mit einer Magnitude größer als 8.
		Je niedriger die Magnitude ist, desto häufiger sind Beben der entsprechenden Stärke -- eine Verringerung
		um eine Magnitudeneinheit verzehnfacht die Wahrscheinlichkeit. Genauer:
		\[ \log_{10} N = a_0 - b_0 M \]
		$N$: Anzahl der Beben mit Magnituden größer als $M$\\
		$a_0$: Maß für die Erdbebenaktivität\\
		$b_0$: Maß für den "`Zerbrechungsgrad"' einer Herdregion ($0,4 \leq b_0 \leq 1,8$, im weltweiten
			Durchschnitt ist $b_0 = 0,75$)
\end{itemize}


\subsection{Modellvorstellungen vom Erdbebenherd}

\begin{itemize}
	\item Elastische Deformationen akkumulieren sich, schließlich kommt es zum Scherbruch, wenn die Scherfestigkeit
		des Gesteins überschritten ist.
	\item Während eines Bebens schnellt das verformte Gestein in seine Ausgangsposition zurück (\emph{rebound});
		die Verformungsenergie wird dabei in Form von Erdbebenwellen freigesetzt.
	\item Der Erdbebenherd ist nicht punktförmig, sondern eine Verwerfungsfläche (\emph{Herdfläche}), die normalerweise
		nicht bis an die Erdoberfläche reicht und räumlich beliebig orientiert sein kann.
	\item Die Quelle der seismischen Energie muss nicht die gesamte Herdfläche sein.
	\item Die Herdfläche muss kein neu entstandener Bruch sein, sondern auch eine alte Bruchfläche, die sich wieder
		neu verformt hatte.
\end{itemize}

Verfahren der Herdflächenlösung:
\begin{itemize}
	\item Grundgedanke: Man projiziert die Erstausschlagsrichtungen auf eine um das Hypozentrum gedachte Kugel,
		die sogenannte \emph{Herdkugel}.
	\item Zuerst zeichnet man die Stationen rund um das Epizentrum in ein Wulffsches Netz (winkeltreu!) ein,
		und trennt Quadranten mit unterschiedlichen Vorzeichen durch Großkreise.
	\item Zu diesen Großkreisen konstruiert man die Flächenpole; jeder Pol muss in der jeweils anderen Fläche liegen.
	\item Dann verbindet man beide Flächenpole durch einen Großkreis und zeichnet die Winkelhalbierende zwischen
		den beiden Herdflächen ein, die durch den Großkreis durch die Flächenpole geht. Dadurch ergeben sich
		die Richtungen der größten und kleinsten Hauptspannung. % [...] genauer!!!
	\item Um das Spannungsfeld, das zu dem Scherbruch geführt hat, zu bestimmen, braucht man außerdem die
		$45^\circ$-Hypothese; diese besagt, dass bei einem Würfel, auf den in allen drei Raumrichtungen
		Spannungen einwirken, die Bruchfläche auf der Winkelhalbierenden zwischen der größten und
		der kleinsten Spannung liegt. (Wenn also die Spannung links-rechts am größten und oben-unten am
		kleinsten ist, geht die Bruchfläche z.B. von links unten nach rechts oben.)
\end{itemize}


\subsection{Lokalisierung von Erdbeben}

\begin{itemize}
	\item Herdkoordinaten:
	\begin{itemize}
		\item $\phi_0$ (geographische Breite)
		\item $\lambda_0$ (geographische Länge)
		\item $h_0$ (Herdtiefe)
		\item $t_0$ (\emph{Herdzeit} = Uhrzeit, zu der das Erdbeben passiert)
	\end{itemize}
	\item Mit nur einer Station kann man lediglich die Richtung der Erdstöße angeben. Die Partikelbewegung
		erfolgt entlang einer Gerade durch das Hypozentrum und die Messstation; mit den Horizontalkomponenten
		erhält man nur die auf die Erdoberfläche projizierte Richtung dieser Geraden, d.h. man kann
		nicht sagen, auf welcher Seite der Geraden das Epizentrum ist (die Erdstöße könnten aus der einen
		Richtung oder aus ihrer Gegenrichtung kommen). Erst mit der Vertikalkomponente
		sieht man anhand der Richtung des Erstausschlags, auf welcher Seite diese Gerade in die
		Tiefe zeigt -- in dieser Richtung befindet sich das Hypozentrum.
	\item Aus der Zeitdifferenz der Ersteinsätze der P- und S-Wellen kann man zusätzlich die Entfernung
		abschätzen (dazu braucht man die P- und S-Geschwindigkeiten, die nicht exakt bekannt sind, außerdem
		ist der genaue Laufweg der Wellen unbekannt):
		\[ t_{s-p} = t_s - t_p = \frac{s}{v_s} - \frac{s}{v_p} = s \cdot \frac{v_p - v_s}{v_p \cdot v_s} \]
		Mit den geschätzten Geschwindigkeiten $v_p = 5,9 \textrm{km}/\textrm{s}$ und $v_s = 3,4 \textrm{km}/\textrm{s}$
		ergibt sich für die Entfernung des Epizentrums:
		\[ s = (t_s - t_p) \cdot 8,1 \textrm{km}/\textrm{s} \]
\end{itemize}

Für eine exakte Bestimmung der Entfernung braucht man mehrere Stationen. Dann wendet man das \emph{Sehnenverfahren} an:
\begin{itemize}
	\item Wenn man in einem \emph{Wadati-Diagramm} die Zeitdifferenz zwischen den P- und S-Wellen-Einsätzen
		bei den verschiedenen Stationen über die jeweiligen Uhrzeiten der P-Einsätze aufträgt,
		ergibt sich eine Gerade. Aus ihr kann man per Extrapolation die Herdzeit ermitteln; dort, wo die
		Gerade die $x$-Achse schneidet, ist die Zeitdifferenz zwischen P- und S-Wellen Null, die dortige
		Uhrzeit ist gleich der Herdzeit. Mathematisch:
		\[ s = v_p (t_p - t_0) \quad \quad s = v_F \underbrace{(t_s - t_p)}_{= t_{s-p}} \]
		Gleichsetzen, die Differenzgeschwindigkeit $v_F$ zwischen S- und P-Wellen einsetzen
		($v_F = (v_p \cdot v_s)/(v_p - v_s)$) einsetzen, kürzen:
		\[ t_{s-p} = \left(\frac{v_p}{v_s} - 1\right) \cdot (t_p - t_0) \]
		Nach $t_0$ auflösen:
		\[ t_0 = t_p - \frac{t_{s-p}}{v_p/v_s - 1} \]
		Aus der Steigung im Wadati-Diagramm $t_{s-p}/t_p$ erhält man das Verhältnis $v_p/v_s$.
	\item Aus den so ermittelten Herdentfernungen $s = v_p (t_p - t_0)$ der verschiedenen Stationen kann
		man dann mit dem Sehnenverfahren das Epizentrum bestimmen. Dazu zeichnet man Kreise um die
		Stationen mit den jeweiligen Herdentfernungen als Radien, und verbindet die Schnittpunkte
		von jeweils zwei Kreisen durch eine Gerade. Dort, wo sich diese Sehnen schneiden, ist das
		Epizentrum. (Die Radien der Kreise geben nicht die Entfernungen des Epizentrums, sondern
		die Entfernung des Hypozentrums zu den jeweiligen
		Stationen an, darum liegt das Epizentrum nicht auf den Kreisen, sondern innerhalb.)
	\item Das Hypozentrum liegt auf einer Kugel um die Station mit ihrer Herdentfernung als Radius. Wenn man
		in einem $x$-$z$-Diagramm eine Station und das Epizentrum einzeichnet und dazu am Epizentrum
		eine Gerade senkrecht nach unten, liegt das Hypozentrum auf dem Schnittpunkt dieser Geraden
		mit der Herdentfernungs-Kugel (die in diesem Diagramm als Kreis erscheint).
		Die Herdtiefe kann man direkt ablesen als Entfernung zwischen Epi- und Hypozentrum.
\end{itemize}

Es kann passieren, dass der S-Einsatz in den Seismogrammen nicht zu erkennen ist (wegen Übersteuerung
des P-Ausschlags). Das Epizentrum kann dann immer noch mit der \emph{Hyperbelmethode} bestimmt werden:
\begin{itemize}
	\item Eine Hyperbel hat von ihren beiden Brennpunkten stets die gleiche Entfernungsdifferenz; die
		Zeitdifferenz der P-Einsätze ist bekannt, und mit $v_p$ damit auch die Entfernungsdifferenz:
		\[ s_A - s_B = v_p (t_p^A - t_p^B) \]
	\item Um mit der Hyperbelmethode außerdem das Hypozentrum zu bestimmen, braucht man zusätzlich die
		P-S-Zeitdifferenz $t_{s-p}$ einer Station. Die Herdtiefe ergibt sich aus der Entfernung des
		Epizentrums von der Station und der Herdentfernung ($s = v_p (t_p - t_0)$, mit $t_0$ aus dem Wadati-Diagramm)
		nach dem Satz des Pythagoras.
\end{itemize}
% typisches Verhältnis v_p/v_s = \sqrt{3}


\subsection{Ausbreitung von Erdbebenwellen}

\begin{itemize}
	\item Von der Erdoberfläche bis zur Grenze Erdmantel/Kern steigt die Geschwindigkeit der P- und S-Wellen an.
	\item Im oberen Teil der Asthenosphäre steigt die Geschwindigkeit nicht mit der Tiefe an, darum heißt
		diese Zone \emph{Low Velocity Layer}.
	\item Im äußeren Kern gibt es keine S-Wellen, weil dieser flüssig ist, d.h. dort können keine Scherbewegungen
		auftreten.
	\item Der innere Kern ist fest, d.h. dort kann es S-Wellen geben (aus P-Wellen umgewandelt).
	\item Registrierte Erdbeben werden eingeteilt in \emph{Lokalbeben}, \emph{Regionalbeben} ($s < 10^\circ$) und
		\emph{teleseismische Beben}.
	\item Nomenklatur:
	\begin{itemize}
		\item An der \emph{Mohorovicic-Diskontinuität} reflektierte Wellen erhalten ein "`m"', z.B. PmP oder SmS.
		% [...] Moho: Grenze Kruste-Mantel?
		\item An der Moho geführte Wellen erhalten ein "`n"', z.B. Pn, Sn.
		\item An der \emph{Conrad-Diskontinuität} geführte Wellen erhalten ein Sternchen, z.B. P${}^*$.
		\item In der Granitschicht geführte Wellen erhalten ein "`g"', z.B. Pg.
		\item \emph{Tiefenphasen} sind Wellenstrahlen, die sich von der Quelle aus zuerst nach oben ausbreiten
			(d.h. von der Quelle zuerst an die Oberfläche, dort Reflexion, wieder in die Tiefe, Reflexion usw.).
			Sie werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, z.B. p, s.
		\item Einfach- oder Mehrfachreflexionen an der Erdoberfläche (ab einer Herdentfernung von
			$s = 40^\circ$ sehr ausgeprägt) werden durch Dranhängen des Buchstabens der
			Welle nach der Reflexion gekennzeichnet, z.B. PP, PPS, SPP.
		\item Reflexionen an der Kern-Mantel-Grenze (bei $s \approx 40^\circ$) erhalten den
			Buchstaben "`c"', z.B. PcP.
		\item Wellenstrahlen durch den Kern werden mit einem "`K"' gekennzeichnet, Reflexionen am
			inneren Kern durch ein "`i"', Reflexionen innerhalb des inneren Kerns durch ein "`I"'.
			Beispiele: PKP, PKiKP, PKIKP, PKIIKP (Mehrfachreflexion im inneren Kern).
		\item Kombinationen sind möglich; z.B. Tiefenphasen, die an der Oberfläche reflektiert und dann
			an der Moho geführt werden, heißen z.B. pPn.
		\item Rayleigh-Oberflächenwellen heißen Rg.
	\end{itemize}
	\item Bei lokalen und regionalen Beben bewegen sich die Wellen durch die Erdkruste zur Messstation.
	\begin{itemize}
		\item Es handelt sich also um P- und S-Wellen, die entweder direkt von der Quelle kommen oder an den
			verschiedenen Grenzschichten reflektiert oder als Kopfwellen geführt werden.
		\item Reihenfolge der Ersteinsätze: Pg, P${}^*$, Pn (für $t_{s-p} < 20 \textrm{s}$) bzw. Pn, P${}^*$,
			Pg (für $t_{s-p} > 25 \textrm{s}$)
		\item Dominantes Signal: Sg
		\item Das Seismogramm ist nicht länger als ca. 5 Minuten.
		\item Quellen dicht an der Erdoberfläche erzeugen starke Rayleigh-Wellen.
	\end{itemize}
	\item Bei teleseismischen Erdbeben findet die Wellenausbreitung v.a. durch den Erdmantel statt.
	\begin{itemize}
		\item Je größer die Entfernung, desto tiefer dringen die Wellen in den Erdmantel ein.
		\item Die Wellenstrahlen sind keine Geraden mehr, sondern werden im Erdmantel gebogen;
			dadurch sind Mehrfachreflexionen an der Erdoberfläche möglich, ohne dass es dazwischen
			weitere Reflexionen z.B. im Mantel oder an der Kern-Mantel-Grenze gibt
			(d.h. die Wellen gehen nach der Reflexion an der Erdoberfläche nach unten, werden
			durch den Dichtegradienten wieder nach oben gebogen, werden wieder an der Erdoberfläche
			reflektiert usw.).
		\item Durch Vergleich der Laufzeiten von Tiefenphasen und entsprechenden direkten Phasen
			kann man die Herdtiefe bestimmen.
		\item Bei einer Entfernung von $103^\circ \leq s \leq 140^\circ$ gibt es keine direkten
			P-Wellen mehr, weil die Welle an die Kern-Mantel-Grenze stößt -- innerhalb des Mantels
			ist keine gerade Verbindung zwischen Quelle und Empfänger möglich. Nur an der Erdoberfläche
			oder von unten an der Moho reflektierte Wellen (\emph{Unterkantenreflexionen})
			können diesen Bereich noch erreichen.
			Darum sind die gemessenen Amplituden sehr schwach, man bezeichnet den Bereich
			als \emph{Schattenzone}.
		\item Bei einer Entfernung größer als $s = 140^\circ$ laufen die Wellenstrahlen durch den Erdkern.
	\end{itemize}
\end{itemize}


\subsection{Schäden durch Erdbeben}

\begin{itemize}
	\item Ein Erdbeben sendet Wellen nur aus einem bestimmten Frequenzbereich aus. (Brune-Modell)
	\item Es wird nicht in alle Raumrichtungen die gleiche Energiemenge abgestrahlt.
	\item Die Amplitude der Erdbebenwellen nimmt erstens durch die Geometrie mit $1/s$ ab (weil der Umfang
		eines Kreises linear mit dem Radius wächst), zweitens exponentiell durch Dämpfung
		proportional zu $\exp(-Q \cdot f \cdot s / (v \cdot \pi))$ ist ($Q$: Qualitätsfaktor, $f$: Frequenz,
		$v$: Geschwindigkeit); es ergibt sich also für den Absorptionskoeffizienten $a = Q \cdot f / (v \cdot \pi)$.
		Außerdem wird die an einem Ort ankommende Energie durch Streuung und Reflexionen vermindert oder erhöht.
	\item Gebäude können schwingen und nehmen v.a. dann Schaden, wenn eine der Resonanzfrequenzen angeregt wird.
	\item Gebäude sind heterogene Gebilde, d.h. Brüche treten meist im Grenzbereich verschiedener Materialien auf.
	\item Primärschäden entstehen durch das Beben selber, Sekundärschäden durch vom Beben ausgelöste Katastrophen
		(z.B. Feuer).
\end{itemize}


\section{Geothermik}

\begin{itemize}
	\item \emph{Grüneisen-Beziehung} zwischen spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Volumen bzw. konstantem Druck:
		\[ \frac{c_p}{c_V} = 1 + \alpha \cdot \gamma \cdot T \]
		$\alpha$: Volumenausdehnungskoeffizient; $\gamma$: Grüneisen-Parameter ($1 < \gamma < 2$); $T$: Temperatur
	\item Feuchte Gesteine haben im Allgemeinen eine höhere Wärmekapazität als trockene, weil Wasser eine
		höhere Wärmekapazität als die meisten Gesteine hat. Es gilt:
		\[ c_{feucht} = \frac{m_{trocken} \cdot c_{trocken} + m_{Wasser} \cdot c_{Wasser}}{m_{trocken} + m_{Wasser}} \]
	\item Wärmetransport kann durch drei Mechanismen erfolgen:
	\begin{itemize}
		\item Wärmeleitung (Austausch kinetischer Energie durch Gitterschwingungen (Phononen)
			oder durch elastisch kollidierende Moleküle, Atome oder Elektronen)
		\item Konvektion (Massenaustausch; effektivster Wärmetransportmechanismus)
		\item Strahlung (elektromagnetische Wellen, die die Resonanzfrequenz der Atombewegung anregen können)
	\end{itemize}
	\item In der Erdkruste erfolgt der Wärmetransport v.a. durch Wärmeleitung, während im Erdmantel die Konvektion
		vorherrscht. An manchen Stellen der Erdkruste trägt auch Konvektion von eingelagertem Wasser zum
		Wärmetransport bei.
	\item Zusammenhang zwischen Wärmestrom und Temperaturverteilung:
		\[ \vec{q} = -k \nabla T(x,y,z) \]
		Die \emph{Wärmeleitfähigkeit} $k$ ist im anisotropen Fall ein Tensor, in isotropen Medien vereinfacht sie
		sich zu einem Skalar.\\
		Zusammenhang zwischen Temperaturänderung und Wärmestromänderung:
		\[ \kappa = \frac{k}{\varrho \cdot c} \]
		$\kappa$: \emph{Temperaturleitfähigkeit}; $\varrho$: Dichte; $c$: Wärmekapazität;
	\item Messung des Temperaturgradienten im Erdinneren: z.B. in Bergwerken, in Bohrlöchern,
		mit Hilfe von Rammsonden in den Meeren. Bei Bohrlochmessungen ist zu beachten, dass
		die Bohrlochspülung die Temperaturverteilung beeinflusst, und dass der komplette Temperaturausgleich
		mit der Umgebung nach einer Bohrung ein bis zwei Jahre dauert.\\
		Ergebnis: Der Temperaturgradient beträgt ca. 20 bis 30 Kelvin pro Kilometer.
	\item Messung der Wärmeleitfähigkeit: Die Probe wird zwischen zwei Metallzylinder bekannter Wärmeleitfähigkeit
		gebracht, die Temperaturdifferenz zwischen den äußeren Enden der Metallzylinder ist ebenfalls bekannt.
		Nicht nur die Probe selbst hat eine unbekannte Wärmeleitfähigkeit, sondern auch die Kontaktstellen
		zwischen den Metallzylindern und der Probe. Aber durch Messung der Temperaturen an jeweils beiden Enden
		der Metallzylinder kann man den Wärmefluss durch das Metall bestimmen, der gleich dem Wärmefluss
		durch die Probe sein muss. Durch Messung von Proben verschiedener Dicke kann man daraus die Wärmeleitfähigkeit
		des Probenmaterials bestimmen.
	\item Der Wärmefluss aus der Tiefe zur Erdoberfläche ist auf den verschiedenen Kontinenten unterschiedlich;
		am niedrigsten in Afrika mit 1,19 HFU,
		am höchsten in Australien mit 1,52 HFU, durchschnittlich ist er 1,35 HFU (HFU = "`heat flow unit"';
		$1 \textrm{HFU} = 41,8 \textrm{mW}/\textrm{m}^2$). Es zeigt sich eine Korrelation des Wärmeflusses mit dem
		reziproken Alter des Messgebiets, und auch zwischen der Konzentration radioaktiver Elemente und dem
		Wärmefluss.
	\item Die Hauptursache des Wärmeflusses aus dem Erdinneren ist also die radiogene Wärmeproduktion. Es gibt aber
		noch weitere Wärmequellen: Kristallisationswärme (Ausfrieren von flüssigem Material), Reibungswärme durch
		gravitative Trennung (schwere Gesteine sinken nach unten, leichte tauchen auf), Reibungswärme durch
		Gezeiten und tektonische Prozesse, chemische Reaktionen (Oxidationen, Inkohlung), Absorption von Neutrinos.
	\item Die radioaktiven Isotope mit kurzer Halbwertszeit sind zum größten Teil zerfallen. Die heutige Wärmeproduktion
		wird praktisch komplett von folgenden Isotopen hervorgerufen: U-238, U-235, Th-232, K-40.
	\item Die Konzentration radioaktiver Elemente ist in der Erdkruste nicht konstant, sondern nimmt mit zunehmender
		Tiefe ab (da bei großen Drücken die relativ großen radioaktiven Atome nicht mehr in das Kristallgitter
		eingebaut werden können). Man vermutet, dass die durchschnittliche Konzentration der radioaktiven Elemente
		ähnlich wie in Chondriten (kohlenstoffhaltige Meteorite) ist; die nach dieser Theorie entstehende
		Wärmemenge passt zu den Beobachtungen. Allerdings gibt es auch Gegenargumente zu dieser Theorie; z.B.
		stimmt das Kalium-Uran-Verhältnis von Chondriten nicht mit dem der Erde überein.
\end{itemize}

% Ende des Dokuments
\end{document}
