PENDEL: T = 2π\sqrt{l/g} = 2π\sqrt{lmT /gmS} l:Länge d Pendels; allg.: beliebiger Körper mit Masse m, in Pkt A aufgehängt (Tr.moment JA bzgl. A), s = |r⃗A − r⃗CM | ⇒ T = 2π\sqrt{\frac{JA}{mgs}} RAD. ZERFALL:N(t) = Noe−λt; λ = ln2/T1/2 ; dN/dt = −λN(t),14 C : T1/2 = 5730a,235 U : T1/2 = 4, 5 · 109a BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG: a=ẍ,v=ẋ,a⃗ = tangentiala⃗ + normala⃗, an = v2/R, ⊥ zuv⃗,R ist Radius einer abgenäherten Kreisbahn a⃗ = const ⇒ x(t) = 1/2axt2 + vot + xo, v(t) = axt + vo, 2ax = v2 − v2 o freier Fall: Wurfparabel:y = \frac{g}{2v2 x} x2, wenn Abwurf unter α̸ nach oben: y = x tan (α) − \frac{g}{2v2 Abschusscos2(α)} x2 KREISBEWEGUNG: x = R cos (φ), y = R sin (φ), ω = \frac{dφ}{dt} W inkelgeschw., ω = const ⇒ φ = ωt, T = \frac{2π}{ω} = \frac{1}{f} ,T Periodendauer, f Frequenz

atangential = 0, an = \frac{v2}{R} = Rω2, v = Rω = const, Fn = \frac{mv2}{R} = mRω2 = pω, p Impuls

HARMONISCHE SCHWINGUNG: x(t) = R cos (ωt), y = R sin (ωt), vx = −ωx, vy = ωy, ax = −ω2x, ay = −ω2y, ẍ= −ω2x, ÿ= −ω2y NEWTON AXIOME (1) Trägheitsprinzip F⃗ = 0 ⇒ Δv⃗ = 0 (2) Aktionsprinzip F⃗ = ma⃗ (3) F⃗ab = −F⃗ba HOOKESCHES GESETZ: elastischer Bereich: F = −cΔl,c Federkonstante, Spannung = \frac{F}{A} ,Aist∅desDrahtes = −E \frac{Δl}{l} = -Elastizitätsmodul·Dehnung GALILEISCHES Relativitätsprinzip: Absolute v-Messung nicht möglich, Newton-Axiome nur in Inertialsystemen IMPULS: F⃗ = \frac{dp⃗}{dt} = \frac{dm}{dt} v + \frac{dv⃗}{dt} m, falls m=const: p⃗ = mv⃗ ATOMARE MASSENEinheit u = \frac{1}{12} m12C , 1 kmol ≅ Atom/Molekülmassenzahl in kg ≅ 6.0221 · 1026 Teilchen HARMONISCHER OSZILLATOR: F = ma = −mω2x =Hooke −cx ⇒ ω = \sqrt{c/m}, gedämpft: x(t) = xoe−βt cos (ωt), ⇒ F = −mω2x − 2mβẋ (für geringe

Dämpfung,d.h. \frac{β}{ω} ≪ 1) ⇒ F⃗Reibung = −γv⃗ = −2mβv⃗

REIBUNG: Stokesches Gesetz: F⃗ = −6πηRv⃗, R Kugelrad., in Fluid, μHaft ≥ μGleit ≥ μRoll, Stahl auf Stahl: μH = 0.6 − 0.8, μG = 0.2 − 0.4, 0.1bzw.0.01 gefettet, PKW auf Asphalt μR = 0.02, μH = 0.1(Eis) − 0.9(trocken) Best. von μH auf schiefer Ebene: Rutschwinkel α∗ : tan (α∗) = μH ÄQUIVALENZ VON mS und mT : G = mS g = mT g, Alle Körper fallen gleich schnell ⇒ mS = mT , Pendel: ω = \sqrt{\frac{mS}{mT} · \frac{g}{l}} KEPLER GESETZE: (1) elliptische Planetenbahnen, Brennpkt Sonne (2) r⃗ × v⃗ = const. Flächenvektor A⃗ = \frac{1}{2} (r⃗ × \frac{dr⃗}{dt} ), d.h.: Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fläche (3) \frac{T2 1}{T2 2} = \frac{a3 1}{a3 2} , T=Umlaufzeit,a=gr. Halbachse ELLIPSE: \frac{x2}{a2} + \frac{y2}{b2} = 1 (Ursprung in Mitte, b=kl. Halbachse, Polarform(r, φ) : \frac{p}{r} = 1 + ε cos (φ), p = a(1 − ε2) = \frac{b2}{a}

(Fokalgleichung, Ursprung in Brennpunkt, ϵ Exzentrizität, b = a\sqrt{1 − ϵ2} GRAVITATION: Drehwaage: γ = G∗ = \frac{π2r2a}{ml} s, 2a=Entf. kl. Massen voneinander, r=Entf. kl. zu gr. Masse, m=Masse einer kl. Masse, l=Länge des Lichtzeigers, s= seine Auslenkung Satelliten: v = \sqrt{γ \frac{Me}{r}} , T = \sqrt{\frac{4π2}{γ} \frac{r3}{Me}} Gezeiten: (rm ± Re)−2 ≈ r{−2 \atop m}(1 ∓ 2 \frac{Re}{rm} ), rm ist Bahnrad. des Mondes, 2 Fluten wegen rot. von Erde/Mond um gemeins. CM

Gravitationsgesetz: FG = −γ \frac{m1m2}{r2} , V = −γ \frac{m1m2}{r} , [Ladungen : F = \frac{1}{4πεo} \frac{q1q2}{r2} , V = \frac{1}{4πεo} \frac{q1q2}{r} ], V = −γmo · ∑ \frac{mi}{roi} = −γmo · ∫ \frac{dm}{s}

ENERGIEERHALTUNG: d( \frac{p2}{2m} ) − F⃗dr⃗ = 0, \frac{p2}{2m} = \frac{1}{2} mv2 = EK , W = ∫ F⃗dr⃗, EP ot = V = −W, EKin1 + V1 = EKin2 + V2, Kugelschale: V = −γ \frac{moM}{r} aussen, V = −γ \frac{moM}{R} innen, Kugelschalenmasse M, Radius R, Masse mo im Abstand r, Berechnung: Ring der Masse dm im Abstand s zu mo, θ = (Kreisring − KugelMittelPkt; mo − KMP): dV = −γ \frac{modm}{s} , dm = \frac{dA}{A} = \frac{Rdθ·2π(R sin θ)}{4πR2} , s2 = R2 + r2 − 2Rr cos θ | \frac{d}{dt} ⇒ 2sds = 2Rr sin θ · dθ, V = ∫{θ=π \atop θ=0} dV ⇒ V (r) = − \frac{γmoM}{2Rr} · (s(π) − s(0)) Fluchtgeschw.: v = \sqrt{2gRe} LEISTUNG: P = \frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt} (F⃗dr⃗) =F =const.= F⃗v⃗, 1P S = 735.5W Zu Kugelschale: r ≤ R : s(π) = r + R, s(0) = r − R; r ≥ R : s(π) = r + R, s(0) = R − r IMPULSERHALTUNG: ∑ miv⃗i = p⃗ = const. für F⃗ext = 0, Stösse: elastisch:Q=0, unelastisch:Q ≠ 0, zentral: Berührung auf Gerade der CM, gerade: v⃗ entlang Verbindungsgerade, Dransfeld: zentral = Teilchen bewegen sich vor u. nach Stoßauf gleicher Geraden ELASTISCHE STÖSSE: elastisch,gerade,zentral: v{nach \atop 1} = \frac{(m1−m2)v{vor \atop 1}+2m2v{vor \atop 2}}{m1+m2} , v{nach \atop 2} = \frac{(m2−m1)v{vor \atop 1}+2m1v{vor \atop 1}}{m1+m2} Falls v{vor \atop 2} = 0 : An m2 übertragene Energie: ΔE = E{vor \atop kin} \frac{4 \frac{m1}{m2}}{(1+ \frac{m1}{m2} )2} , Maximal bei m1 = m2, Neutron-Kern-Streuung: Δp = 2p1 sin ( \frac{φ}{2} ), p1 =Impuls des Neutrons vor Stoss, Δp= Änderung des Impulses, φ = (p1; p1 + Δp), Vor.: mn ≪ mKern, Mauer:

Δp = 2p{vor \atop 1} ≠ 0, aberΔE = 0 (v{vor \atop Mauer} = v{nach \atop Mauer} = 0) UNELASTISCHE STÖSSE: allg.: E{vor \atop K1} + E{vor \atop K2} = E{nach \atop K1} + E{nach \atop K2} + Q,

vollk. unelastisch: v{nach \atop 1} = v{nach \atop 2} = \frac{m1v1+m2v2}{m1+m2} , Q = \frac{1}{2} \frac{m1m2}{m1+m2} (v{vor \atop 1} − v{vor \atop 2} )2, Maximal bei v1 = −v2, m1 = m2

SCHWERPUNKT: r⃗CM = \frac{∑ mir⃗i}{∑ mi} , Stösse im CM System: v⃗CM = \frac{∑ miv⃗i}{∑ mi} , Ekin = E{‘ \atop kin} + ECM = \frac{1}{2} \frac{m1m2}{m1+m2} (v1 − v2)2 + \frac{1}{2} (m1 + m2)v{2 \atop CM}, elastische Proton-Proton-Streuung/ Billard: Vor.: gleiche Massen der Stoßpartner, Einer ruht am Anfang, zentral aber nicht notwendig gerade, Dann ist d̸er Impulse danach immer 90o, Rakete:, m(t) ist Raketenmasse,vaus < 0 ist Austrittsgeschwindigkeit, dv = − \frac{dm}{m(t)} vaus im CM System Rakete = CM System Rakete/Brennstoff wegen dt, Schubkraft im Beob.sys.: FSchub = −vaus| \frac{dm}{dt} |, nahe Erde ⇒ \frac{dv}{dt} = −g − \frac{vaus}{m(t)} | \frac{dm}{dt} | ⇒ v(t) = −gt + vaus · ln( \frac{m(t)}{m(0)} ), Lösung, wenn m(t) = m(0) − \frac{dm}{dt} t bekannt SCHEINKRÄFTE: (1) Bezugssys beschl. mit ao ⇒ FSchein = −mao (2) Zentrifugalkraft: F⃗S = mω2r⃗ = m \frac{v2}{r} = −mω⃗ × (ω⃗ × r⃗), Erde: g⃗′ = g⃗ + a⃗t + a⃗r = g⃗eff + a⃗t (3) Corioliskraft: F⃗C = −2mω⃗ × v⃗ = 2mv⃗ × ω⃗ (v⃗= Geschw. im rot. Bzgssys.) Bew. auf geogr. Breite φ : F⃗c ∥zu Erdobelfl.: F⃗c∥ = 2mvω sin φ Foucault: ωr = ωo sin (φ), φ Breitengrad ROTIERENDE BEWEGUNG: Drehmoment M⃗ = r⃗ × F⃗ = \frac{d}{dt} (mr⃗ × v⃗) = \frac{d}{dt} L⃗, Drehimpuls L⃗ = mr⃗ × v⃗, Arbeit W = ∫ Mdφ =(M=const)= Mφ, Leistung P = Mω PLANETEN etc.: Etotal = \frac{1}{2} mv2 − \frac{γMm}{r} = const., v⃗ = v⃗Radial + v⃗T angential, vr = \frac{dr}{dt} , vt = r \frac{dφ}{dt} , M = 0, da Zentralkraft ⇒ L = const. ⇒Bewegung in einer Ebene(→ ω = const.) ⇒ L = mrvt = mr2 \frac{dφ}{dt} = konst. ⇒ Etotal = \frac{1}{2} mv2 r + \frac{1}{2} \frac{L2}{mr2} − \frac{γMm}{r} = const. = E{‘ \atop kin} + V ‘(r) , Bindung falls Etotal < 0 mit Ellipse mit 2a = − \frac{γMm}{Etotal} (Berechnung: An den Umkehrpunkten ist vr = 0 ⇒ quadratische Gl. für r ⇒ Lösungen sind rK undrG mit 2a = rK + rG α-TEILCHEN-STREUUNG: Impuls mv⃗∞, Stossparameter b (= Abstand Anfluggerade - dazu ∥ Gerade durch schweren Kern, Zentralkraft ⇒ L = const = mv∞b = mr2 \frac{dφ}{dt} (*), r ist Abstand zu Kern, θ ist Ablenkwinkel, x-Achse Winkelhalbierende zu An- und Abfluggerade, φ= Winkel (Ortsvector;x-Achse)

⇒ Δpx = 2mv∞ sin ( \frac{θ}{2} ), Δpx = ∫{+∞ \atop −∞} Fxdt = ∫{+∞ \atop −∞} \frac{1}{4πεo} \frac{q1q2}{r2} cos (φ)dt =(∗)= ∫{φ2 \atop φ1} \frac{1}{4πεo} \frac{q1q2}{r2} cos (φ) \frac{mr2}{mv∞b} dφ ⇒ Δpx = 2mv∞ sin ( \frac{θ}{2} ) = \frac{q1q2}{4πεo} \frac{1}{v∞b} (sin (φ2) − sin (φ1))

(**) mit φ1,2 Winkel vor u. nach Streuung und sin (φ1,2) = sin (∓ \frac{π−θ}{2} ) = ∓ cos ( \frac{θ}{2} ) mit (∗∗) ⇒ tan ( \frac{θ}{2} ) = \frac{q1q2}{4πεo} \frac{1}{mv2 ∞b} MASSE AN SEIL: L = mrv ⇒ ω = \frac{v}{r} = \frac{L}{mr2} FREIE DREHUNG nur durch CM, ∑(r⃗i × F⃗{ext \atop i}) = \frac{d}{dt} (∑(r⃗i × p⃗i)), L⃗ = L⃗aussen + L⃗CM

MASSENVERTEILUNG in einem Pkt aufängen: ⇒ ∑(r⃗i × mig⃗) = ∑(mir⃗i × g⃗) =(∗)= (∑ mi)r⃗CM × g⃗ = r⃗CM × Mg⃗ = 0 in Ruhelage ⇒ r⃗CM ∥ g⃗, (*): r⃗CM = \frac{∑ r⃗imi}{∑ mi}

TRÄGHEITSMOMENT: falls ω⃗ ⊥ r⃗j , ω⃗ ⊥ v⃗j ⇒ L⃗ = ∑(mj r⃗j × v⃗j) = ∑ mj r2 jω⃗ = Jω⃗ = ω⃗ ∫ r2dm SATZ VON STEINER: JA = a2M + JCM, HAUPTTRÄGHEITSACHSEN: i.A. ist L⃗ ∦ ω⃗ ⇒ Kräfte auf Lager, ∃3 ⊥ stehende Achsen mit L⃗ ∥ ω⃗, davon stabil: JMAX , JMIN ENERGIE eines ROTATORS: Ekin = \frac{1}{2} mv{2 \atop CM} , Erot = \frac{1}{2} Jω2 = \frac{L2}{2J} = \frac{L⃗ω⃗}{2} TORRDIERBARER FADEN: Richtmoment Mr = −Dφ

(φ = V erdrillings , D = ”F eder”konstante), EP ot = V = −∫ dW = ∫{φo \atop 0} Dφdφ = \frac{1}{2} Dφ2 o, Energieerhaltung: \frac{1}{2} J( \frac{dφ}{dt} )2 + \frac{1}{2} Dφ2 = Etotal = const. ⇒ ω = \sqrt{\frac{D}{J}}

GALAXIEN: E{Kugel \atop rot} = \frac{5}{4} \frac{L2}{MR2} , EGrav = − \frac{3}{5} γ \frac{M2}{R} , Etotal = \frac{5}{4} \frac{L2}{MR2} − \frac{3}{5} γ \frac{M2}{R} , Minimal (Bestimmng über Ableitung) bei Ro = \frac{25L2}{6γM3} ⇒ Scheibenform, Bestimmung von

EGrav : EP ot einer Kugelschale mit Dicke dr im Abstand r zum Mittelpkt, dann Integrieren von 0 bis r: V (r) = −γ \frac{4πr2drϱ· \frac{4}{3} πr3ϱ}{r} , EG = ∫{R \atop 0} V (r) mit ϱ = \frac{M}{\frac{4}{3} πr3}

KREISEL: (1): kräftefreier Kreisel: Nutation: Figurenachse s⃗ und ω⃗ bewegen sich um Raumfestes L⃗ (2) nicht Kräftefrei: Präzession: Ω = \frac{M}{L} = \frac{|r⃗CM−r⃗Auflage|mg}{Jω} (M ist Drehmoment auf CM, m ist Masse des Kreisels) KUGEL ROLLT: auf schiefer Ebene mit α̸, Masse des Rades m, Radius R, Drehmoment auf Rad bzgl. Auflagepkt: M = mgR sin (α), während kurzer Zeit dt näherungsweise Rot. um Auflagepunkt(!) ⇒ J = \frac{7}{5} mR2, M = \frac{dL}{dt} = \frac{d(Jω)}{dt} , Rω = vCM ⇒ aRad = \frac{dvCM}{dt} = \frac{5}{7} g sin (α), für Zylinder: a = \frac{2}{3} g sin (α) H-ATOM: Bahnradius: rn = 4πεo · \frac{n2h̄2}{mee2} = r1 · n2, r1 = 0.529 · 10−10m, Bahngeschwindigkeit vn = \frac{e2}{4πεoh̄} · \frac{1}{n} , Gesamtenergie En = − \frac{mee4}{2(4πεo)2h̄2} · \frac{1}{n2} = − \frac{C}{n} , C = 13.6eV