BINDUNG Edelgas = Van der Waals (Ladungsfluktuationen), Ionische (heteropolar), kovalente (homeopolar), metallische (Fermi-See), von links nach rechts zunehmende TMelt, EBindung , Härte, Energetisch stabilste Bindung ist die geordnete, kristalline Struktur mit Translationssymetrie MECHANISCHES VERHALTEN FESTER KÖRPER E-Modul Spannung σ = \frac{Fzug}{A} , Dehnung ε = \frac{Δl}{l} , σ = Eε, E ist Elastizitätsmodul

Poissonzahl μ := \frac{ε⊥}{ε∥} , ε⊥ = − \frac{ΔR}{R} , ε∥ = \frac{Δl}{l} , für μ = \frac{1}{2} V olumenerhaltung, μ < \frac{1}{2} V olumenabnahme, \frac{ΔV}{V} = ε∥ − 2ε⊥, es gilt −1 <= μ <= \frac{1}{2}

K-Modul Bei isotropem Druck Δp = −K \frac{ΔV}{V} K=Kompressionsmodul, \frac{ΔV}{V} = −κΔp κ =Kompressibilität, es ist K, κ > 0 G-Modul Scherung/Torsion Spannung τ = \frac{FVerschieb}{A} , τ = G \frac{Δa}{a} ≈ Gγ, γ Verschiebwinkel, a Höhe, Δa Querverschiebung, G Scher- bzw. Schubmodul Beziehungen zw. den Moduln K = \frac{E}{3(1−2μ)} , \frac{E}{G} = 2(1 + 2μ), nur bei völlig isotropen Körpern Leonard-Jones-Potential EP ot(r) = b(( \frac{a}{r} )12 − ( \frac{a}{r} )6), erster Summand anziehend, zweiter abstoßend, GGW bei Kraft = F (r) = \frac{dEpot}{dr} = 0 ⇒ r0 = 6 \sqrt{2}a ≈ 1.12a und EP ot(r0) = − \frac{1}{4} b, r0 ist der GGW-Abstand der Teilchen, Beziehung zum E-Modul: E = \frac{d2Epot}{dr2} FLÜSSIGKEITEN praktisch keine Schersteifigkeit auf langer Zeitskala ⇒ Flüssigkeitsoberfläche ⊥ Normalkraft, Druck wirkt isotrop, hat skalaren Charakter Hydrostastische Presse \frac{F1}{A1} = \frac{F2}{A2} Moduln Nur K-Modul κ = \frac{1}{K} = − \frac{1}{V} \frac{dV}{dp} Schweredruck, Auftrieb Schweredruck in Tiefe x: P = ρF luidxg, Auftrieb FAuftrieb = VKoerper ρF luidg, Schwimmen wenn ρF luid >= ρKoerper, FG greift an CM des Körpers an, FAuf greift an CM der verdrängten Wassermasse an, Metazentrum = Schnittpunkt der Wirkungslinie von FAuftrieb und der (Verbindungslinie von CMKoerper undCMverdr.W asser im austarierten Fall) bei kleinen Auslenkungen aus dem GGW. Falls Metazentrum oberhalb von CMKoerper stabiles schwimmen OBERFLÄCHENSPANNUNG Vedünnte Anwesenheit von Molekülen an der Oberfläche einer Flüssigkeit ⇒ Kraft nach Lenard-Jones-Potential, da größerer mittlerer Abstand als GGW-Abstand der Moleküle, Oberflächenspannung γ = \frac{Fγ}{L} , Gase haben keine Oberfl.spg., Oberfl.spg. nimmt mit der Temp ab, Moleküle haben an Oberfl. höhere Pot. Energie, denn EP ot(rOberfl.) > EP ot(r0), (r0 ist der GGW-Molekülabstand), ⇒ sich selbst überlassene Flüssigkeiten nehmen Minimaloberfläche an Beimischungen Heteropolar: (z.Bsp.: HCl, H2SO4, H2CO3) heben Oberfl.spg. an, Heteropolar und Amphiphil (Hydrophiles und Lipophiles Ende) (z-Bsp.: C2H5OH, C17H35COOH) senken Oberfl.spg. Druck auf Kugel PKruemmung = \frac{F⊥Oberfl.}{A} , Innendruck einer Flüssigkeitsblase: Pi = \frac{2γ}{r} , EOberfl. = γ · 4πr2 Benetzung, Grenzflächenspannung Entweder anziehende WW zw. Flüssigkeit und Gefäßoder abstoßende WW., Grenzfl.spg. zw. A und B γAB in N/m. Bei vertikaler Gefäßwand ist γAB nach oben gerichtet bei anziehender WW, nach unten gerichtet bei abstoßender WW, Oberfl.sp. ist ∥ Oberfläche, Winkel, den Flüssigkeit mit Wand einnimmt cos φ = − \frac{γAB}{γ} Kapillare mit Radius r: γAB ≈ γ, F = 2πrγ, Steighöhe Δh = \frac{2γ}{ρrg} , P = \frac{2γ}{r} STATIONÄRE STRÖMUNG ohne Reibung Strömung durch Konus: A1v1 = A2v2 (Kontinuitätsgleichung) Bechleunigung der Flüssigkeit, wenn Rohr dünner wird ⇒ wegen Energierhaltung mußDruck abfallen Fbeschl. = \frac{dDruck}{dOrt} auf Volumenelement, ⇒ ρ \frac{dv}{dt} + \frac{dp}{dx} = 0 (Pascalsches Gesetz), mit Energieerhaltung ⇒ \frac{1}{2} ρv2 1 + p1 = \frac{1}{2} ρv2 2 + p2 (Bernoullisches Gesetz) Messung der Geschw.eines Fluids mit tailliertem Rohr, gr.Fläche A1,kl.Fl. A2 ⇒ v = \sqrt{\frac{2Δp}{ρ(( \frac{A1}{A2} )2−1)}} , Auftriebskraft einer Tragfläche: F = AT ragfl.ρvLuftΔvoben−unten

VISKOSITÄT Scherkraft F∥ auf Fläche A: σ = \frac{F∥}{A} = η \frac{dv}{dh} = η \frac{dγ}{dt} , wobei γ Scherwinkel und v Geschw. über Unterlage in Höhe h, und η Viskosität, η von Flüssigkeit nimmt mit Temperatur ab, bei Gas zu, Strömung durch Rohr: v(r) = \frac{Δp}{4ηl} (R2 − r2), Δp Druckdiff., l Länge, R Radius des Rohrs, Strom J, Hagen-Poisseuille: J = \frac{dV}{dt} = \frac{π}{8η} \frac{Δp}{l} R4 Stokes FR = 6πηRv bei Kugel Turbulenzen: Teil von Ekin wird dissipiert = in Wärme umgewandelt, FR = \frac{1}{2} cwAρv2, A Fläche des Körpers, v Geschw., cw Widerstangszahl, bei Kugel: Cw ≈ \frac{1}{2} , \frac{FR,turbulent}{FR,Stokes} = \frac{1}{24} \frac{Rρv}{η} = \frac{1}{24} Re, Re Reynoldszahl SCHWINGUNGEN Gedämpft: \frac{d2z}{dt2} + \frac{γ}{m} \frac{dz}{dt} + ω2 oz = 0, z(t) = zoe−βt cos (ωot + φ), β = \frac{γ}{2m} , ω2 o = \frac{c}{m} , nach Zeit \frac{1}{β} ist Amplitude auf e-ten Teil abgefallen, Energie: ESchwing = \frac{1}{2} cz2 oe− \frac{t}{τ} , τ := \frac{1}{2β} , Zeit, nach der Energie auf e-ten Teil abgefallen, \frac{1}{τ} = \frac{γ}{m} , Gütefaktor Q := \frac{E}{\frac{dE}{dt} · \frac{1}{ωo}} = τωo Erzwungen und Gedämpft: Äußere Kraft F = Fo sin ωt,

\frac{d2z}{dt2} + \frac{1}{τ} \frac{dz}{dt} + ω2 oz = \frac{Fo}{m} sin ωt, ( \frac{1}{τ} = \frac{γ}{m} ), z(t) = zo sin (ωt + φ), zo = \frac{\frac{Fo}{m}}{\sqrt{(ω2 o−ω2)2+( \frac{ω}{τ} )2}} , tan φ = \frac{−ω}{τ(ω2 o−ω2)} , ωo ist Eigenfrequenz Leistung: Vom Oszillator gel. Arbeit pro Zeit

bei erzw., gedmp. Schwing. im Mittel über lange Zeit: \overline{P (ω)} = \frac{F2 oτ}{2m} \frac{( \frac{ω}{τ} )2}{(ω2 o−ω2)2+( \frac{ω}{τ} )2} , Lorentzkurve, PMax(ω = ωo) = \frac{F2 oτ}{2m} , Halbwertsbreite = Breite der Kurve bei PMax/2 := 2Δω ≈ \frac{ωo}{Q} für gute Güte Q, 2Δω bestimmt Schärfe der Resonanz, große Schärfe ⇒ große Güte Gekoppelte Schwingung ohne Dmpfg: 2 Fadenpendel der Länge r, dazwischen Feder mit C, x1, x2 Auslenkng des 1.ten, 2.ten Pendels: \frac{d2x1}{dt2} + ω2 1x1 + \frac{C}{m1} (x1 − x2) = 0 und \frac{d2x2}{dt2} + ω2 2x2 + \frac{C}{m2} (x2 − x1) = 0, falls m1 = m2 =: m, ω1 = ω2 =: ωo beide Gleichungen addieren bzw. subtrahieren und qs := x1 + x2, qa := x1 − x2 : q̈s + ω2 oqs = 0 und q̈a + (ω2 o + 2 \frac{C}{m} )qs = 0, ⇒ ωS = ωo, ωA = \sqrt{ω2 o + 2 \frac{C}{m}} , sym. Normalschwingung: x1(0) = x2(0) =: xo, {. \atop x1} (0) ={. \atop x2} (0) = 0 ⇒ x1(t) = x2(t) = xo cos ωS t, asym. Normschwing.: x1(0) = −x2(0) =: xo, {. \atop x1} (0) ={. \atop x2} (0) = 0 ⇒ x1(t) = −x2(t) = xo cos ωAt, Schwebung: x1(0) = 0, x2(0) = xo, {. \atop x1} (0) ={. \atop x2} (0) = 0 ⇒ x1(t) = xo sin \frac{ωA−ωS}{2} t sin \frac{ωA+ωS}{2} t, x2(t) = xo cos \frac{ωA−ωS}{2} t cos \frac{ωA+ωS}{2} t WELLEN y(x, t) = yo sin (ωt − kx) bei Sinusförmiger Transversalwelle, k := \frac{2π}{λ} Wellenzahl, Phasengeschwindigkeit c := \frac{λ}{T} = λν = \frac{ω}{k} allg. Wellengleichung: \frac{∂2y}{∂x2} = \frac{1}{c2} \frac{∂2y}{∂t2} , alle Fktn des Typs y(x, t) = F (t ∓ \frac{x}{c} ) erfüllen diese DGL, in Seil: c2 = \frac{σ}{ρ} , σ Zugspannung, ρ Dichte, Reflexion einer Auslenkung am losen Ende ⇒ Refl ohne Phasensprung, am festen Ende: ⇒ Phasensprung von π, Reflexion von Sinuswellen: Stehende ”Welle”: y(x, t) = −2yo cos ωt sin kx (Mit virtueller Welle y2(x, t) = −y0 sin (ωt + kx), links und rechts fest eingespannt mit Länge L: L = \frac{λ}{2} · n, n = 1, 2, 3... SCHALLWELLEN In Fluid nur longitudinal (denn keine Scherkräfte), in Festk. auch transversal, Elongationξ(x, t) = ξo sin (ωt − kx), Druck um π/4 verschoben: Δp(x, t) = K · kξo cos (ωt − kx), K Kompmodul, Wellengl. einer Schallwelle \frac{∂2ξ}{∂x2} = \frac{1}{c2} \frac{∂2ξ}{∂t2} , c2 = \frac{K}{ρ}, ρDichte, in Festk. auch c2 = \frac{G}{ρ}, G Schermodul, adiabatische Zustandsänderung=kein Wärmeausgleich, c ∼ \sqrt{T} , c ∼ \sqrt{1/Mm}, T Temp, Mm Molmasse DOPPLEREFFEKT fBeobachter = \frac{1+ \frac{vMedium}{c} − \frac{vBeob}{c}}{1+ \frac{vMedium}{c} − \frac{vQuelle}{c}} fQuelle, Achtung auf Vorzeichen: vB , vM , vQ sind in selbe Richtung pos. def. Machscher Kegel: α halber Öffnungswinkel, sin (α) = \frac{c}{vQ} FOURIERZERLEGUNG: ΔkΔx ≈ 2π ≈ ΔωΔt(bei nichtperiodischen Fktn), bei zwei Wellen: y1 = yo sin (ω1t − k1x), y2 = yo sin (ω2t − k2x), y1 + y2 = 2yo cos (Δωt − Δkx) sin (ωt − kx) mit Δω = \frac{ω1−ω2}{2} , ω = \frac{ω1+ω2}{2} , k entspr., cP hase = \frac{ω}{k} , vGruppe = c − λ \frac{dc}{dλ}, (λ = \frac{2π}{k} ), vG < cP : normale Dispersion, vG > cP : anormale Dispersion THERMODYNAMIK: ideales Gas: v-Verteilung breit, isotrop, keine WW zw. Teilchen, nur Stöße, Gasgesetz: P V = NkB T, P Vm = NAkB T = RT, zurückgelegter Weg R eines Teilchen: \overline{R2} = 6Dt, D Diffusionskonst., Bew.energie der Teilchen: \frac{1}{2} mi\overline{v2} = \overline{Ekin} = \frac{3}{2} kB T , \overline{v} = 0.92\sqrt{\overline{v2}}, mittlerer Abstand zweier Teilchen: \overline{a} = 3 \sqrt{\frac{1}{n}} , n := \frac{N}{V} , mittlere freie Weglänge

eines Teilchens: l = \frac{1}{nσ} , σ ist Querschnittsfl. e. Teilchens, l >> \overline{a}, Barometerformel: P (h) = Poe− \frac{mgh}{kBT} =: Poe− \frac{EPot}{EThermisch} , also KB T := Ethermisch spez. Wärme Wärme Q, ΔQ = cMΔT, M Gesmasse, c spez. Wärme, cM Wärmekapazität, cMeinesMols molare Wärmekap., allg.: c = \frac{1}{M} \frac{dQ}{dT}