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\begin{document}

\title{{\Huge Fortgeschrittenenpraktikum:}\\
{\Huge Ausarbeitung - Versuch 36}\\
{\Huge ,,Extraterrestrische Mikrowellen{}``}\\
{\Huge Durchgeführt am 4. Dezember 2002}}

\maketitle
{\centering \emph{\Large Gruppe 17}\\
Michael Wack 2234088\\
Christoph Moder 2234849\\
Sebastian Mühlbauer 2218723\par}


\newpage
\section{Einleitung}

Der Versuch ,,extraterrestrische Mikrowellen{}`` bietet Studenten
einen Einblick in die Radioastronomie und die Hochfrequenztechnik.
Mit einer \( 1,75\, \textrm{m} \)-Parabolantenne messen wir den Fluss
der Sonne, der Milchstraße und, da unser Versuch im Winter stattfindet,
des Orionnebels (ist im Sommer nachts unter dem Horizont und tagsüber
wegen der Radiostrahlung der Sonne sowie den daraus resultierenden
Reflexionen nicht messbar). Auch das Signal von Meteosat wird empfangen
und ausgewertet. Sehr interessant an diesem Versuch ist dabei die
Einführung in die Hochfrequenztechnik, mit ihren Besonderheiten und
Tücken - denn diese Dinge sind entscheidend für den Messaufbau, werden
jedoch sonst im Studium nirgends vermittelt.

Die Parabolantenne ist fest auf einen Azimut von ca. \( 15^{\circ } \)
eingestellt, die Antennenelevation ist variabel. Das Signal wird vom
Brennpunkt der Antenne über einen Hohlleiter zu einem Dipol geleitet,
dort in ein Koaxialkabel gespeist und direkt unterhalb des Antennenspiegels
in einem Vorverstärker verstärkt, um Verluste durch lange Kabelwege
zu minimieren. An den Messaufbau wird das Signal durch induktive Kopplung
übertragen, um Schäden an der Messelektronik durch elektrostatische
Aufladung oder Blitzschlag zu vermeiden. Mit einem Frequenzumsetzer
wird das Signal auf eine niedrigere Frequenz umgesetzt (um den Skineffekt
zu minimieren) und dann den verschiedenen Messgeräten zugeleitet.


\section{Azimut und Höhe von Meteosat}

Meteosat befindet sich auf einer geostationären Umlaufbahn über dem
Nullmeridian. Geostationär bedeutet automatisch, dass der Satellit
über dem Äquator stehen muss, ansonsten wäre seine geographische Breite
nicht fest - er würde zwischen Nord- und Südhalbkugel hin- und her
pendeln, weil seine Bahn wegen der Erdanziehung immer über einem Großkreis
auf der Erde liegen muss.

Für eine Satellitenbahn muss die Gravitation gleich der Zentripetalkraft
sein sowie \( t=24\, \textrm{h} \), d.h. für den Bahnradius ergibt
sich:\[
F_{z}=m_{S}\cdot \frac{v^{2}}{r}=m_{S}\cdot 4\pi ^{2}\frac{r}{t^{2}}\]
\[
F_{g}=G\cdot \frac{m_{E}\cdot m_{S}}{r^{2}}\]
\[
r=^{3}\sqrt{\frac{G\cdot m_{E}\cdot t^{2}}{4\pi ^{2}}}=4,176\cdot 10^{4}\, \textrm{km}\]


Die Berechnung von Azimut und Höhe des Satellits geht am elegantesten
in Kugelkoordinaten (bei allem anderen verrechnet man sich, es werden
einfach zu viele Dreiecke ;-), der Erdmittelpunkt ist der Ursprung
des Koordinatensystems:\[
\vec{n}_{\textrm{Garching}}=r_{E}\cdot \left( \begin{array}{c}
\sin \vartheta \cdot \cos \phi \\
\sin \vartheta \cdot \sin \phi \\
\cos \vartheta 
\end{array}\right) \]
mit \( \vartheta =90^{\circ }-48,2^{\circ } \) und \( \phi =11,6^{\circ } \)
\( \Rightarrow  \) es ergibt sich für den Ortsvektor von Garching
bzw. den Normalenvektor der Garchinger Horizontebene: \[
\vec{n}_{H}=\frac{\vec{n}_{\textrm{Garching}}}{|\vec{n}_{\textrm{Garching}}|}=\left( \begin{array}{c}
0,6529\\
0,1340\\
0,7455
\end{array}\right) \]


Die Ebene des Garchinger Himmelsmeridians enthält die Erdachse (Richtung
\( \vec{e}_{z} \)) und den Garchinger Ortsvektor, d.h. ihr Normalenvektor
ist das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren:\[
\vec{n}_{\textrm{Meridian}}=\frac{\vec{n}_{\textrm{Garching}}\times \vec{e}_{z}}{|\vec{n}_{\textrm{Garching}}\times \vec{e}_{z}|}=1,5\cdot \left( \begin{array}{c}
-0,134\\
0,059\\
0
\end{array}\right) \]
 Der Vektor Garching-Meteosat \( \vec{s} \) liegt in der Ebene, die
durch Meteosat, Garching und den Erdmittelpunkt definiert ist. Diese
Ebene steht senkrecht auf der Garchinger Horizontebene, weil sie den
Ortsvektor von Garching enthält, und dieser ist der Normalenvektor
\( \vec{n}_{H} \) der Horizontebene. Der Normalenvektor \( \vec{n}_{GM} \)
dieser Ebene kann also als Kreuzprodukt aus dem Vektor Garching-Meteosat
\( \vec{s} \) und dem Garchinger Ortsvektor \( \vec{n}_{H} \) berechnet
werden:\[
\vec{n}_{GM}=\frac{\vec{s}\times \vec{n}_{H}}{|\vec{s}\times \vec{n}_{H}|}=1,32\cdot \left( \begin{array}{c}
0\\
-0,7455\\
0,1340
\end{array}\right) \]


Der Azimut ist der Winkel zwischen den Ebenen bzw. Normalenvektoren
\( \vec{n}_{\textrm{Meridian}} \) und \( \vec{n}_{GM} \) und errechnet
sich mit der Formel \( \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \gamma  \)
zu \( 15,4^{\circ } \). Die Höhe von Meteosat ist der Winkel zwischen
der Garchinger Horizontebene (ausgedrückt durch \( \vec{n}_{H} \))
und dem Vektor Garching-Meteosat \( \vec{s} \), es errechnet sich
analog \( 33,5^{\circ } \).


\section{Höhe und Zeitpunkt des Sonnendurchgangs vor der Antenne}

Zeitpunkt des Sonnendurchgangs in Garching: Die mitteleuropäische
Zeit bezieht sich auf den 15. Längengrad; Garching liegt auf \( 11,6^{\circ } \),
d.h. der Sonnendurchgang erfolgt \( \frac{15^{\circ }-11,6^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 24\, \textrm{h }=13,6\, \textrm{min} \)
später.

Zeitpunkt des Sonnendurchgang vor der Antenne: Die Antenne ist auf
Meteosat ausgerichtet, sie hat einen Azimut von \( 15,4^{\circ } \).
Entsprechend erfolgt der Sonnendurchgang erst, wenn sich die Erde
um diesen Betrag weiter gedreht hat, also \( \frac{15,4^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 24\, \textrm{h}=61,6\, \textrm{min} \)
nach der Kulmination in Garching. Der Sonnendurchgang vor der Antenne
erfolgt also um \( 13:15:12\, \textrm{Uhr MEZ} \).

Höhe des Sonnendurchgangs vor der Antenne: Die Sonne erreicht am Versuchstag
(4.~Dezember) eine Maximalhöhe von \( 17,75^{\circ } \); weil die
Vertikalbewegung der Sonne eine Sinusbahn beschreibt, beträgt die
Höhe vor der Antenne, die um den Azimut-Winkel gegenüber der Südrichtung
gedreht ist: \( h=\cos (15,4^{\circ })\cdot 17,75^{\circ }=17,11^{\circ } \).


\section{Meteosat: Bestimmung der Spannung am Ausgang der Antenne}

Die Antenne wird auf die Höhe von Meteosat ausgerichtet und die Frequenz
passend eingestellt. Die Signalstärke wird gemessen, indem man zu
einer bekannten Spannung aus dem Generator die Dämpfung so einstellt,
dass der Zeigerausschlag am Messgerät genauso groß wie beim Signal
von Meteosat ist. Da die verschiedenen Dämpfungen und Verluste des
Meßstrangs bekannt sind, kann man damit das auf das Eingangssignal
von Meteosat zurückrechnen.

Dämpfung vom Generator bis zum Frequenzumsetzer (variable Dämpfung
eingestellt auf \( -46,5\, \textrm{dB} \)):\[
D_{\textrm{Generator}}=(-46,5)\, \textrm{dB }+(-48,2)\, \textrm{dB}+(-0,5)\, \textrm{dB}=-95,2\, \textrm{dB}\]


Dämpfung von der Antenne bis zum Frequenzumsetzer:\[
D_{\textrm{Antenne}}=-0,1\, \textrm{dB }-0,2\, \textrm{dB }+18,2\, \textrm{dB }+17,5\, \textrm{dB }-3,8\, \textrm{dB }-3,1\, \textrm{dB }-1,3\, \textrm{dB }=27,2\, \textrm{dB}\]


Gesamtdämpfung vom Generator bis zur Antenne:\[
D=D_{\textrm{Generator}}-D_{\textrm{Antenne}}=-122,4\, \textrm{dB}\]


=> Leistung an der Antenne, aus der Generatorleistung:\[
-122,4\, \textrm{dB }=10\cdot \log \frac{P_{\textrm{Antenne}}}{P_{\textrm{Generator}}}\]
\[
P_{\textrm{Antenne}}=10^{-12,24}\cdot P_{\textrm{Generator}}=12\cdot 10^{-12}\, \textrm{mW}=12\, \textrm{fW}\]


Mit einem Wellenwiderstand von \( Z=50\, \Omega  \) ergibt sich eine
Spannung von:\[
U=\sqrt{P\cdot Z}=0,77\, \mu \textrm{V}\]


Die von der Antenne empfangene Leistung ist, wie berechnet, \( 12\, \textrm{fW} \);
die effektive Fläche der Antenne beträgt \( 1,32\, \textrm{m}^{2} \),
und die vom Satelliten ausgeleuchtete Fläche ist in erster Näherung
\( (14000\, \textrm{km})^{2}=196\cdot 10^{12}\, \textrm{m}^{2} \),
so ergibt sich die vom Satelliten abgestrahlte Leistung zu:\[
12\, \textrm{fW}\cdot \frac{196\cdot 10^{12}}{1,32}=1,78\, \textrm{W}\]



\section{Antennentemperatur und Fluss der Sonne}

Während der Mittagspause läuft die Sonne vor der Antenne vorbei, das
Signal wird vom x-t-Schreiber festgehalten. Anschließend werden beim
Verstärker nacheinander die verschiedenen Verstärkungsstufen (\( 1\, \textrm{dB} \),
\( 2\, \textrm{dB} \) und \( 3\, \textrm{dB} \)) eingeschaltet und
somit das Signal des kalten Himmels (d.h. gleiche Antennenelevation,
nach dem Sonnendurchgang) mit diesen Verstärkungen aufgezeichnet.
Damit erhält man eine Eichung relativ zum kalten Himmel bei \( 19^{\circ } \)
Antennenelevation. Die absolute Temperatur bei \( 19^{\circ } \)
Elevation kann man durch die zweite Eichung ermitteln, bei der die
Antenne in \( 10^{\circ } \)-Schritten vom warmen Boden (Elevation
\( -15^{\circ } \)) bis auf den kalten Himmel bei \( 50^{\circ } \)
Elevation gerichtet wird. Nun wird die Bodentemperatur mit einem Thermometer
gemessen, und man kann alle Werte zurückrechen.

Die Eigenrauschtemperatur der Antenne setzt man mit \( 64\, \textrm{K} \)
an; sie wird jedes Jahr durch den Betreuer mittels einer Heiß-Kalt-Messung
(heiß: Lufttemperatur der Umgebung; kalt: flüssiger Stickstoff) neu
bestimmt. Die Verluste in den Kabeln der Außenanlage betragen \( -0,5\, \textrm{dB} \).

Eigenrauschtemperatur der Antenne: \( 64\, \textrm{K} \) \( \Rightarrow  \)
Rauschfaktor:\[
F=10\cdot \log \frac{290+64}{290}=0,866\, \textrm{dB}\]


Verlust durch Rundhohlleiter und Antennenkabel (\( =0,5\, \textrm{dB} \)):\[
F=0,866\, \textrm{dB }+0,5\, \textrm{dB}=1,366\, \textrm{dB}\]
Rauschtemperatur:\[
T=107\, \textrm{K}\]


Bodentemperatur (mit dem Thermometer gemessen): \( 9,8\, ^{\circ }\textrm{C }=283\, \textrm{K} \);
laut Eichkurve im Diagramm entspricht das (linear interpoliert) ein
Verhältnis von \( 4,6\, \textrm{dB} \) zur Himmelstemperatur (bei
\( 50^{\circ } \)), d.h. für die Himmelstemperatur ergibt sich:\[
4,6\, \textrm{dB}=10\cdot \log \frac{283\, \textrm{K}+107\, \textrm{K}}{107\, \textrm{K}+T_{\textrm{Himmel}}}\]
\[
\Rightarrow T_{\textrm{Himmel}}=\frac{283\, \textrm{K}+107\, \textrm{K}}{10^{0,46}}-107\, \textrm{K}=28,2\, \textrm{K}\]


Bei einem Antennenwinkel von \( 19^{\circ } \) (d.h. mehr warme Atmosphäre)
hat lautet das Verhältnis zum kalten Himmel \( 1,7\, \textrm{dB} \),
d.h. es ergibt sich analog eine Temperatur von:\[
T=\frac{28,2\, \textrm{K}+107\, \textrm{K}}{10^{-0,17}}-107\, \textrm{K}=93\, \textrm{K}\]


Die Sonne geht am 4. Dezember, an dem wir unser Praktikum gemacht
haben, in einer Höhe von \( 19^{\circ } \) vor der Antenne vorbei,
und das Verhältnis zum Himmel bei \( 19^{\circ } \) beträgt \( 2,7\, \textrm{dB} \),
so ergibt sich für die Antennentemperatur:\[
T_{A}=(107\, \textrm{K }+93\, \textrm{K})\cdot 10^{0,27}-(107\, \textrm{K}+93\, \textrm{K})=172\, \textrm{K}\]
 Aus dem Plot ergibt sich eine Halbwertsbreite von ungefähr \( 30\, \textrm{min} \),
was einem Sonnendurchmesser von \( 7,5^{\circ } \) entspricht. Aber
der Sonnendurchmesser ist in Wirklichkeit \( 0,5^{\circ } \), d.h.
nur \( \frac{1}{225} \) der Fläche \( \Rightarrow  \) die Temperatur
ist in Wirklichkeit \( 225 \)-mal so groß, also \( 39\cdot 10^{3}\, \textrm{K} \).
Die Diskrepanz zur wahren Oberflächentemperatur der Sonne (ca. \( 5000\, \textrm{K} \))
erklärt sich dadurch, dass man im Radiobereich die Sonne nicht mehr
als schwarzen Körper ansehen kann. Die Radiostrahlung entsteht v.a.
durch Elektronen, die in Magnetfeldern beschleunigt werden und somit
Synchrotronstrahlung aussenden.

Der Fluss der Sonne ist dann:\[
S=\frac{k_{B}\cdot T_{A}}{1,32\, \textrm{m}^{2}}=1,80\cdot 10^{-21}\, \frac{\textrm{J}}{\textrm{m}^{2}}=1,80\cdot 10^{5}\, \textrm{Jy}\]


Da wir mit einer polarisierten Antenne messen, die Sonnenstrahlung
aber unpolarisiert ist, ist der tatsächliche Wert doppelt so hoch:\[
S=3,60\cdot 10^{5}\, \textrm{Jy}\]



\section{Messung der Antennentemperatur aus Differenztemperatur Boden-Himmel}

Bei einer Antennenelevation von \( 50^{\circ } \) wurden verschiedene
Verstärkungen aufgezeichnet und diese als Eichung für die Messungen
bei anderen Antennenelevationen verwendet. Durch lineare Interpolation
wurden damit die relativen Signalstärken bei anderen Antennenneigungen
errechnet, und mit der per Thermomenter gemessenen Bodentemperatur
von \( 9,8\, ^{\circ }\textrm{C }=283\, \textrm{K} \) und der Eigenrauschtemperatur
der Antenne von \( 107\, \textrm{K} \) kann man mit folgender Formel
die Rauschtemperatur der anderen Neigungswinkel errechnen:\[
F_{\textrm{Boden}}-F=10\cdot \log \frac{107\, \textrm{K}+283\, \textrm{K}}{107\, \textrm{K}+T}\]


\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
Antennenelevation&
Stärke gegenüber \( 50^{\circ } \) Elevation&
Temperatur\\
\hline
\hline 
\( 50^{\circ } \)&
\( 0\, \textrm{dB} \)&
\( 25\, \textrm{K} \)\\
\hline 
\( 40^{\circ } \)&
\( 0,1\, \textrm{dB} \)&
\( 29,1\, \textrm{K} \)\\
\hline 
\( 30^{\circ } \)&
\( 0,25\, \textrm{dB} \)&
\( 32,9\, \textrm{K} \)\\
\hline 
\( 20^{\circ } \)&
\( 1,4\, \textrm{dB} \)&
\( 75,4\, \textrm{K} \)\\
\hline
\( 10^{\circ } \)&
\( 3,7\, \textrm{dB} \)&
\( 202\, \textrm{K} \)\\
\hline
\( 0^{\circ } \)&
\( 4,3\, \textrm{dB} \)&
\( 248,6\, \textrm{K} \)\\
\hline
Boden&
\( 4,7\, \textrm{dB} \)&
\( 283\, \textrm{K} \) (gemessen)\\
\hline
\end{tabular}


\section{Fluss von Orion-Nebel und Milchstraße}

Auf dem Diagramm: \( 1\, \textrm{dB}=200\, \textrm{mV} \), der Anstieg
der Kurve beim Orionnebel beträgt \( 3\, \textrm{mV}\Rightarrow F=0,017\, \textrm{dB} \),
bei der galaktischen Ebene beträgt der Anstieg \( 27\, \textrm{mV}\Rightarrow F=0,054\, \textrm{dB} \).
Die Antenne befand sich bei der Messung auf einer Elevation von \( 33,5^{\circ } \),
das entspricht \( 31,5\, \textrm{K} \).\[
F=10\cdot \log \frac{107\, \textrm{K}+31,5\, \textrm{K}+T}{107\, \textrm{K }+31,5\, \textrm{K}}\]
 Es ergibt sich (wie bei der Sonne sind die Werte wegen der Antennenpolarisation
verdoppelt):

\begin{itemize}
\item Orion: \( T=0,20\, \textrm{K} \) \( \Rightarrow  \) Fluss: \( S=4,2\cdot 10^{-19}\, \textrm{Jy} \)
\item Galaktische Ebene: \( T=1,73\, \textrm{K} \) \( \Rightarrow  \)
Fluss \( S=3,6\cdot 10^{-18}\, \textrm{Jy} \)
\end{itemize}

\section{Öffnungswinkel der Antenne}

Der Peak des Sonnendurchgangs beträgt \( 2,7\, \textrm{dB} \); der
halben Sonnentemperatur von \( T=\frac{172\, \textrm{K}}{2}=86\, \textrm{K} \)
entspricht \( 1,66\, \textrm{dB} \). Die Halbwertsbreite des Sonnendurchgangs
beträgt laut Plot \( 27\, \textrm{min} \), was einen Öffnungswinkel
der Antenne von \( 360^{\circ }\cdot \frac{27\, \textrm{min}}{24\cdot 60\, \textrm{min}}=6,5^{\circ } \)
ergibt.


\section{Messdiagramme}

Ausschnitte aus den Diagrammen der Messapparatur:

\vspace{0.3cm}
{\centering \resizebox*{0.5\textwidth}{!}{\includegraphics{12140001}} \par}
\vspace{0.3cm}

\resizebox*{0.5\textwidth}{!}{\includegraphics{12140002}} 

\resizebox*{0.5\textwidth}{!}{\includegraphics{12140003}} 
\end{document}
