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\begin{document}

\title{{\Huge Fortgeschrittenenpraktikum:}\\
{\Huge Ausarbeitung - Versuch 14}\\
{\Huge ,,Optische Absorption{}``}\\
{\Huge Durchgeführt am 13. Juni 2002}}

\maketitle
{\centering \emph{\Large Gruppe 17} \\
Christoph Moder 2234849\\
Michael Wack 2234088\\
Sebastian Mühlbauer 2218723\par}


\newpage
\section{Einleitung}

Die Unterschiede zwischen den Eigenschaften von Metallen, Halbleitern
und Isolatoren resultieren aus den Energieniveaus der äußeren Elektronen.
Zur Beschreibung dieser Energieniveaus im Festkörper dient das Bändermodell,
das von festen Gitterpositionen für die Ionen und einem gemittelten
Feld ausgeht und die für die Elektronen möglichen Energieniveaus als
Energiebänder beschreibt, die durch einen Bereich von verbotenen Energieniveaus
- der Bandlücke - getrennt sind. Die Größe der Bandlücke und damit
die Häufigkeit und benötigte Energie, um sie zu überqueren, ist bei
Metall sehr gering (Elektronen befinden sich immer im Leitungsband),
bei Halbleitern größer (sie kann z.B. durch thermische Energie = Gitterschwingungen
überwunden werden, weshalb Halbleiter Heißleiter sind) und bei Isolatoren
sehr groß. Die Größe der Bandlücke bestimmt also das elektrische Verhalten
- und weil Licht nichts anderes als elektromagnetische Wellen ist,
bestimmt die Größe der Bandlücke, ob das Licht absorbiert oder transmittiert
wird (d.h. ein Isolator mit großer Bandlücke absorbiert im sichtbaren
Bereich nichts, ist also idealerweise durchsichtig). Aus der Messung
der absorbierten Farben kann man also die Bandlücke bestimmen.


\section{Versuch}


\subsection{Ordnungsfilter, Eichung}

Zur Eichung wurde eine LED mit der Wellenlänge \( 564\, \textrm{nm} \)
verwendet. Die Modulation wurde dabei von einem Funktionsgenerator
erledigt, dessen Signal auch in den Lock-In-Verstärker weitergeleitet
wurde, so dass der Lock-In-Verstärker auf die richtige Frequenz abgeglichen
ist. Aus der Lage des nullten Beugungsmaximums bei \( i_{0}=42 \)
und des ersten Maximums bei \( i=1554 \) kann man die x-Achse nach
der Wellenlänge eichen (\( \partial _{\lambda }=(1554-42)/564\, \textrm{nm} \)):\[
i(\lambda )=\frac{di}{d\lambda }\lambda +i_{0}\]


Wie man aus dem aufgenommenen Spektrums der Lampe mit Filter erkennen
kann, entfernt der Filter Licht mit einer Wellenlänge unterhalb von
etwa 700~nm. Verwendet haben wir den Filter ab Kanal 2028, was einer
Wellenlänge von 741~nm entspricht. Da die Maxima erster Ordnung ungefähr
ab 400~nm vom Detektor nachgewiesen werden (kürzere Wellenlängen
kann der Si-Detektor wegen der geringen Eindringtiefe nicht messen),
ist mit den Maxima zweiter Ordnung dieser Wellenlängen ab dem Bereich
der Maxima erster Ordnung von 800~nm zu rechnen. Weil der Filter,
der bei der Messung von Wellenlängen ab 741~nm benutzt wurde, alle
Wellenlängen bis etwa 700~nm gut unterdrückt, erfüllt er seine Aufgabe
recht gut - denn die zweiten Maxima von 700~nm befänden sich irgendwo
bei den ersten Maxima von 1400~nm, wo wir gar nicht mehr messen,
dort kann es uns egal sein.

Mögliche Fehler bei der Eichung:

\begin{enumerate}
\item Die angegebene Wellenlänge der LED stimmt nicht; vielleicht gibt es
Fertigungstoleranzen, oder das Material hat sich verändert (z.B. durch
Alterung).
\item Der Lock-In-Verstärker wird zwar mit der gleichen Frequenz wie der
Chopper betrieben, aber die Phasenlage muss per Hand eingestellt werden.
Hier wurden möglicherweise Fehler gemacht, so dass die Messung des
Lock-In-Verstärkers stark verfälscht wird (erhöhter Rauschanteil im
gemessenen Signal).
\item Streulicht in der Messapparatur kann nicht ausgeschlossen werden.
\end{enumerate}
\vspace{0.3cm}
{\centering \resizebox*{1\textwidth}{!}{\includegraphics{Normierung}} \par}
\vspace{0.3cm}


\subsection{Amorphes Silizium}

Das amorphe Silizium befindet sich als dünne Schicht auf einem Glassubstrat.
Dabei ist die Schicht so dünn, dass bei der Reflexion von Licht an
beiden Grenzflächen durch die Differenz zwischen den optischen Weglängen
Interferenz entsteht (sowohl bei Transmission als auch Reflexion).

\vspace{0.3cm}
{\centering \resizebox*{1\textwidth}{!}{\includegraphics{aSi}} \par}

\vspace{0.3cm}
{\centering \resizebox*{1\textwidth}{!}{\includegraphics{aSi_norm}} \par}
\vspace{0.3cm}

Der Wegunterschied beträgt \( 2d \) (d.h. doppelte Schichtdicke),
was einem optischen Wegunterschied von \( 2nd \) entspricht. Bei
einem Interferenzmaximum ist der optische Wegunterschied gleich einem
ganzzahligen Vielfachen der Lichtwellenlänge (bei senkrechter Einstrahlung
des Lichts, wie es bei der Reflexionsmessung der Fall war):\[
m\cdot \lambda _{max}=2nd\]
Bei zwei Gleichungen mit den Ordnungen \( m \) und \( m+1 \) ergibt
sich für \( nd \):\[
nd=\frac{\lambda _{m}\lambda _{m+1}}{2(\lambda _{m}-\lambda _{m+1})}\]


Berechnung des Brechungsindex für amorphes Silizium:\[
T=\frac{t^{4}}{1+r^{4}-2r^{2}\cos (2\sigma )}\]
 \[
I_{T}=I_{0}+\frac{t_{12}^{2}t_{23}^{2}}{1+r_{23}^{2}-2r_{23}r_{12}\cos (\sigma )}\]
\[
\frac{I_{\textrm{max}}}{I_{\textrm{min}}}=\frac{(1+r_{23}r_{12})^{2}}{(1-r_{23}r_{12})^{2}}\]
\[
r_{12}=\frac{n_{\textrm{Si}}-1}{n_{\textrm{Si}}+1},\, \, r_{23}=\frac{n_{\textrm{Si}}-n_{\textrm{Glas}}}{n_{\textrm{Si}}+n_{\textrm{Glas}}}\]
\[
n_{\textrm{Si}}=1,2\cdot \sqrt{\frac{I_{\textrm{max}}}{I_{\textrm{min}}}}+\sqrt{1,44\cdot \frac{I_{\textrm{max}}}{I_{\textrm{min}}}-1,4}\]


% Mit \( I_{max}=1208 \) und \( I_{min}=759 \) ergibt sich bei \( \lambda =991\, \textrm{nm} \): \( n_{\textrm{Si}}=2,46 \).

Mit \( I_{max}=672 \) (bei \( \lambda =960\, \textrm{nm} \)) und
\( I_{min}=164 \) (bei \( \lambda =981\, \textrm{nm} \)) aus dem
Reflexionsspektrum ergibt sich: \( n_{\textrm{Si}}=4,55 \).

Daraus kann man dann die Schichtdicke berechnen (mit den Transmissionsmaxima
\( \lambda _{m}=960\, \textrm{nm} \), \( \lambda _{m+1}=1002\, \textrm{nm} \)
):\[
d=\frac{\lambda _{m}\lambda _{m+1}}{2(\lambda _{m}-\lambda _{m+1})n_{\textrm{Si}}}=2517\, \textrm{nm}=2,517\, \mu \textrm{m}\]


Die Absorption nimmt exponentiell mit der Materialdicke ab:\[
I(d)=I_{0}e^{-\alpha d}\]
Der Absorptionskoeffizient \( \alpha  \) ist daher:\[
\alpha =-d\cdot \ln \left( \frac{I(d)}{I_{0}}\right) \]


Für die berechnete Dicke und das Transmissionsmaximum (dort ist \( I_{0}=1484 \))
ergibt sich \( \alpha =1994\, \textrm{nm}^{-1} \).


\subsection{Bestimmung der Bandlücke durch Transmissionsmessung}

Durch Messung der Transmission durch ein Material kann man auf dessen
Bandlücke schließen, weil eine hohe Transmission bedeutet, dass keine
Photonen durch Interband-Übergänge absorbiert werden können. Das Energieniveau
der Bandlücke entspricht also der Energie jener Wellenlänge, die nicht
mehr vollständig absorbiert werden kann - an dieser Stelle beginnt
die Transmissionskurve mit zunehmender Wellenlänge zu steigen. Man
muss also die Transmissionskurve mit einer Regressionsgeraden extrapolieren,
um die Wellenlänge zu finden, an der die Transmission die zu steigen
beginnt.

Die Geradengleichung lautet:\[
I=m\cdot \lambda +t\]
\[
\Rightarrow \, \, \lambda _{G}=-\frac{t}{m}\]


Die Energie berechnet sich aus der Grenzwellenlänge mit:\[
E_{G}=h\cdot f=\frac{c\cdot h}{\lambda _{G}}\]


{\centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
&
\( m \)&
\( t \)&
\( \lambda _{G} \) {[}nm{]}&
\( E_{G} \) {[}eV{]}&
Literaturwert \( E_{G} \) {[}eV{]}\\
\hline
\hline 
CdTe&
\( (16,3\pm 0,15) \)&
\( (-14,1\pm 0,13)\cdot 10^{3} \)&
\( 865 \)&
\( 1,43 \)&
\( 1,43 \)\\
\hline 
GaAs&
\( (2,04\pm 0,06) \)&
\( (-1,85\pm 0,05)\cdot 10^{3} \)&
\( 907 \)&
\( 1,37 \)&
\( 1,43 \)\\
\hline 
GaP&
\( (1,139\pm 0,006) \)&
\( (-602\pm 4) \)&
\( 528 \)&
\( 2,35 \)&
\( 2,26 \)\\
\hline
\end{tabular}\par}

Wie man sieht, kommen unsere Messwerte den Literaturwerten ziemlich
nahe.

\vspace{0.3cm}
{\centering \resizebox*{1\textwidth}{!}{\includegraphics{Transmission.eps}} \par}
\vspace{0.3cm}

\vspace{0.3cm}
{\centering \resizebox*{1\textwidth}{!}{\includegraphics{Transmission_norm}} \par}
\vspace{0.3cm}


\subsection{Bestimmung des Reflexionsverhaltens von Kupfer und Gold}

\vspace{0.3cm}
{\centering \resizebox*{1\textwidth}{!}{\includegraphics{Reflexion}} \par}
\vspace{0.3cm}

\vspace{0.3cm}
{\centering \resizebox*{1\textwidth}{!}{\includegraphics{Reflexion_norm}} \par}
\vspace{0.3cm}

{\centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 
&
\( m \)&
\( t \)&
\( \lambda _{G} \) {[}nm{]}&
Farbe von \( \lambda _{G} \)\\
\hline
\hline 
Gold&
\( (1,152\pm 0,0029) \)&
\( (-593\pm 1,8) \)&
\( 514 \)&
grün\\
\hline 
Kupfer&
\( (0,992\pm 0,0026) \)&
\( (-540\pm 1,7) \)&
\( 544 \)&
gelb\\
\hline
\end{tabular}\par}

Gold und Kupfer reflektieren also nicht das ganze sichtbare Farbspektrum,
sondern erst oberhalb von einer Wellenlänge von 514 bzw. 544~nm.
Das entspricht ungefähr den Farben Grün und Gelb - das heißt, weil
bei Gold sämtliche Blau- und Violetttöne fehlen, sieht es gelblich
aus, und Kupfer, dem außerdem noch Grün fehlt, hat ein rötliches Aussehen.

Für den Reflexionskoeffizienten gilt (mit \( n_{\textrm{Luft}}=1 \),
\( R \) = gemessene Intensität / Normierungskurve (Halogenlampe,
mit Filter ab \( 741\, \textrm{nm} \))):\[
R=\frac{(n-1)^{2}}{(n+1)^{2}};\, \Rightarrow \, \sqrt{R}=\pm \frac{n-1}{n+1}\]
 \[
n_{1,2}=\mp \frac{\sqrt{R}+1}{\sqrt{R}-1}=\pm \frac{1+\sqrt{R}}{1-\sqrt{R}}\]
\[
n\geq 1\, \Rightarrow \, n=\frac{1+\sqrt{R}}{1-\sqrt{R}}\]
 Daraus ergeben sich folgende Graphen:

\vspace{0.3cm}
{\centering \resizebox*{1\textwidth}{!}{\includegraphics{n_Ref}} \par}
\vspace{0.3cm}

\vspace{0.3cm}
\centering \resizebox*{1\textwidth}{!}{\includegraphics{n_Ref_eV}} \vspace{0.3cm}

\end{document}
